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Kettenbrüche (Zurückrechnen 4)
 

 
 
Elegantes Verfahren
 
Wir bilden nun Näherungsbrüche mit einem eleganten Verfahren. Ihr werdet sehen, wenn es sich um große Brüche handelt, ist dieses Verfahren zu bevorzugen!


Wir betrachten dazu einen Bruch in der vereinfachten Kettenbruchschreibweise:


 

 
Dies ist der Bruch aus unserem Kuchenproblem vom Anfang, dass wir nun lösen wollen!

Wir benötigen eine dreizeilige Tabelle:

  • In die oberste Zeile tragen wir von rechts nach links unsere Z0 bis ZN ein:
 

Klick auf das Bild!
 

 

 
  • In der zweiten Zeile werden gleich unsere Näherungszähler (PK) stehen
  • und in der dritten Zeile unsere Näherungsnenner (QK), so dass wir unsere Näherungsbrüche direkt ablesen können.

Abgesehen von den zwei Spalten ganz rechts werden alle Zahlen nach dem gleichen Prinzip hergeleitet. Anfangs sieht es eventuell kompliziert aus, ist es aber nicht.

 
Rechne nach wie wir die Tabelle füllen
 
zurück reset vor
 





Die Näherungsbrüche
 
Jetzt kann man die Näherungsbrüche der Reihe nach ablesen

 











Genauigkeit der Näherungsbrüche
 
Wie folgende Tabelle zeigt, werden die Näherungsbrüche von 'rechts nach links' immer genauer:

Wählen wir für den Kuchen den zweiten Näherungsbruch \(\frac{10}{7}\), so haben wir nur eine Differenz von 0,003775 zum tatsächlich verlangten Bruch.

Wiegt ein Kuchen 1000 Gramm, dann sind dies 3.775 Gramm bzw. gerundet 4 Gramm zu viel.

 

 
Wir stellen also fest, dass der Bäcker seine Kuchen in 7 gleiche Stücke teilen und dem Kunden 10 Stücke davon verkaufen sollte. Das ist eine enorme Erleichterung und der Fehler ist praktisch nicht erkennbar.
 
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