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Kettenbrüche (Anwendungen 3)
 

 
 
Beispiel elektrische Wiederstände


 

Widerstände gewisser Schaltungen, die sich aus gleich großen Widerständen zusammensetzen, lassen sich als Kettenbruch darstellen.

Als Beispiel wollen wir aus Widerständen der Stärke 30 Ohm einen Widerstand von 52 Ohm basteln. Die Frage dabei ist natürlich, wie setzt man die Wiederstände so zusammen, dass möglichst wenige gebraucht werden?

 Hier Klicken zur Erinnerung, wie man Widerstände einer Schaltung berechnet.

 
In unserem Beispiel hat jeder Widerstand r Ohm!
 
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Wer nicht glaubt, dass der Widerstand der Schaltung dem Kettenbruch entspricht, kann sich die Berechnung des Widerstandes schrittweise anschauen:
 
 
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Zurüch zur Frage
 
In unserer Frage von oben haben wir Widerstände von r=30 Ohm zur Verfügung, um daraus einen 52 Ohm Widerstand zusammenzusetzen.
 
Die Lösung
 
Unseren gewünschten Widerstand R = 52 Ohm können wir darstellen als

Es besitzt also \(\frac{52}{30}\)gerade die Kettenbruchdarstellung, die wir soeben hergeleitet haben, nämlich:

\(\frac{52}{30}\) = \(\frac{26}{15}\) = [1 ,1, 2, 1, 3 ].

Also ist obiges Beispiel mit 8 Widerständen die bequemste Lösung für unser Problem.

 Etwas allgemeiner!

 
Vereinfachte Lösung
 
Wählen wir den Näherungsbruch [1 ,1 ,2 ,1 ] = \(\frac{7}{4}\) und nehmen wir einen Fehler von \(\frac{1}{60}\) · 30 Ohm in Kauf, so reichen sogar nur 5 Widerstände:

 

 
Aber solche Fehler gestatten wir eigentlich nur bei Kuchen...
 
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Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele1
Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele2
Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele3
Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele4
Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele5
Den Zusammenhang zwischen der Schaltung und dem Kettenbruch zeigt folgendes Beispiel:

Ele6
El1
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