Ableitung | MathePrisma

Der Grenzwert

Auf die formale Definition des Grenzwertbegriffs wird an dieser Stelle verzichtet. Es soll reichen, den Begriff anschaulich klar zu machen:

Anschaulich bedeutet $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = c$ , dass der Funktionswert $f(x)$ beliebig nahe bei $c$ liegt, falls $x$ hinreichend nahe bei $x_0$ gewählt wird.
Lässt man bei dem Grenzübergang $x \to x_0$ nur Werte $x>x_0$ oder nur Werte $x < x_0$ zu, dann erhält man einseitige (rechts- bzw. linksseitige) Grenzwerte.

Eindeutiger Grenzwert

Sind rechts- und linksseitiger Grenzwert identisch, dann nennt man den Grenzwert eindeutig.

Gegenbeispiel

Hier ist der Grenzwert nicht eindeutig:

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$

a)	Bestimme die Gleichung der Geraden durch PQ [bzw. durch RS]
b)	An welcher Stelle verläuft die Tangente an den Graphen parallel zu der Geraden durch PQ [RS]?