Ableitung | MathePrisma

Zwei Bedingungen

Der Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion an einer Stelle $x_0$ existiert nur dann, wenn man sich $x_{0}$ von beiden Seiten nähern kann und die Differenzenquotienten auf denselben Wert zustreben.

Dazu müssen zwei Kriterien erfüllt sein:

Stetigkeit

1. Die Funktion $f$ muss an der Stelle $x_{0}$ stetig sein.

	Unstetigkeitsstelle
	Bei Unstetigkeitsstellen unterscheiden sich linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert.

Bemerkung

Folgerung

Eine zur y-Achse parallele Tangente ist nicht definiert!

$x_{0}$ darf keine Randstelle sein, muss also im offenen Intervall liegen.

keine Knickstellen

2. Die Funktion $f$ darf an der Stelle $x_0$ keinen "Knick" haben.

	Graph von $f(x)= \|x-x_0\|$
	Der linksseitige Grenzwert dieser (verschobenen) Betragsfunktion an der Stelle $x_{0}$ ist -1, der rechtsseitige ist 1.

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$

a)	Bestimme die Gleichung der Geraden durch PQ [bzw. durch RS]
b)	An welcher Stelle verläuft die Tangente an den Graphen parallel zu der Geraden durch PQ [RS]?