Ableitung | MathePrisma

Definition

Ableitungsfunktion

Die Funktion $f$ heißt differenzierbar auf D(f), wenn sie an jeder Stelle aus $\mathbb{D}(f)$ differenzierbar ist.

Sei $f$ eine auf ihrem Definitionsbereich $\mathbb{D}(f)$ differenzierbare Funktion,
dann heißt die Funktion $f^{\prime}(x) := \lim\limits_{x_i \to x} \frac{f(x_i) - f(x)}{x_i - x}$ , mit $x$ aus $\mathbb{D}(f)$ Ableitungsfunktion f' von $f$ .

Bemerkung

Die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ - kurz Ableitung von f - ordnet jeder Stelle $x$ aus $\mathbb{D}(f)$ die Ableitung $f^{\prime}(x)$ zu.

Sie gibt für jede Stelle $x$ aus $\mathbb{D}(f)$ die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion $f$ an.

Beobachte

Der Funktionsgraph von f und f' im Vergleich

Achtung!

Man muss sorgfältig zwischen der "Ableitung" an einer Stelle und der "Ableitung" als Funktion unterscheiden.

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$

a)	Bestimme die Gleichung der Geraden durch PQ [bzw. durch RS]
b)	An welcher Stelle verläuft die Tangente an den Graphen parallel zu der Geraden durch PQ [RS]?