Ableitung | MathePrisma

Berechnung der Ableitung an einem Beispiel

	Gegeben sei die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ . Die Ableitung kann man nun mittels der Differenzenquotienten bestimmen.
	Zunächst setzt man die vorgegebene Funktionsvorschrift in den Term ein.
	Formt man den Zähler nach der 3. Binomischen Formel um,...
	... dann kann man kürzen.
	Wenn nun $x$ gegen $x_{o}$ strebt, ist der Grenzwert von $x = x_{o}$ .
	Die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0$ ist also $2x_0$ . Da $f(x)=x^{2}$ auf $\mathbb{D}(f)$ differenzierbar ist, gilt: $f'(x)=2x$ .

Bemerkung

Beobachte zunächst die Zusammenhänge der Funktion $f(x)=x^2$ und ihrer Ableitung $f^{\prime} = 2x:$

Die Tangente an der Normalparabel $f(x)=x^2$ ist

monoton fallend für $x < 0$
konstant für $x = 0$
monoton steigend für $x > 0$ .

Also ist

$f^{\prime}(x) < 0 \qquad$ für $x < 0$
$f^{\prime}(x) = 0 \qquad$ für $x = 0$
$f^{\prime}(x) > 0 \qquad$ für $x > 0$ .

Da der Betrag der Steigung der Tangente zum Ursprung hin kleiner wird, ist auch der Betrag der Ableitung zum Ursprung hin kleiner.

Welche Beobachtungen ergeben sich analog bei

$f(x) = (-1) \cdot x^2$
$f(x) = x^2 + 2$
$f(x) = x^3$
$f(x) = x$
$f(x) = -1.2$
$f(x) = x^3 + 2 \cdot x^2$

Dafür braucht man wohl Papier und Stift.

Bestimme die Ableitungen der Funktionen!

$f(x) = 3 \cdot x^2$ $f^{\prime}(x) = 2 \cdot x^3$ $f^{\prime}(x) = 6 \cdot x$ $f^{\prime}(x) = 2 \cdot x$	$g(x) = 3 \cdot x$ $g^{\prime}(x) = 0$ $g^{\prime}(x) = 3$ $g^{\prime}(x) = 3 \cdot x$
$h(x) = 8 \cdot x^3$ $h^{\prime}(x) = 8 \cdot x^2$ $h^{\prime}(x) = 8 \cdot x$ $h^{\prime}(x) = 24 \cdot x^2$	$i(x) = 20$ $i^{\prime}(x) = 0$ $i^{\prime}(x) = 20$ $i^{\prime}(x) = 20 \cdot x$

Zugegeben: Das Ableiten mittels des Differenzenquotienten ist mühsam und dauert viel zu lange.
Aber es geht auch schnell und einfach mit dieser Faustregel für Potenzfunktionen:

einfache Faustregel für Potenzfunktionen

	Potenzfunktion
	Beim Ableiten der Funktion f wird der Funktionsterm zunächst übernommen.
	Der Exponent der Funktionsvariablen x wird zum (weiteren) Faktor.
	Dieser Exponent wird schließlich um 1 reduziert.

Anmerkung

Diese Faustregel umfasst die Potenzregel, die Konstantenregel und die Faktorregel.

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$

a)	Bestimme die Gleichung der Geraden durch PQ [bzw. durch RS]
b)	An welcher Stelle verläuft die Tangente an den Graphen parallel zu der Geraden durch PQ [RS]?