Ableitung | MathePrisma

Die Lösungen

Die kreis- bzw. bogenförmige Bewegung überträgt sich nicht auf die Flugrichtung.

Die Lösungen

Die Geradlinigkeit

Sowohl Hammer als auch Kugel bewegen sich geradlinig in diese Richtung, aber warum?

Eine Kurve entsteht durch viele Richtungsänderungen.

In unserem Fall ändert der Skater beim Kurvenlauf ständig die Richtung. Verliert der Skater die Kugel, kann sie den Änderungen nicht mehr folgen und rollt in einer Richtung weiter - also geradlinig.

Anschauliche Erklärung

	Klar: Bei geradliniger Fahrt gibt es nur eine Richtung. Verliert der Skater die Kugel (an der rot markierten Stelle), so rollt sie auch in gleicher Richtung weiter.
	Bevor er die Kugel verliert, kann er auch eine Kurve fahren...
	...sogar beliebig viele...
	...und erst kurz vor dem Abgabepunkt die blau dargestellte Richtung einschlagen, ohne dass sich etwas ändert.
	Auch danach kann er beliebig weiterfahren. Die Kugel rollt stets in der Fahrtrichtung weiter, die der Skater in dem Moment hatte, als er sie verlor.

Die Richtung in diesem Augenblick nennt man auch die Momentanrichtung.

Das bedeutet, dass weder die Richtungsänderungen des Skaters vor noch nach dem Verlust der Kugel für ihre Richtung entscheidend sind.

Problem

Wie kann man die Momentanrichtung an einer Kurve bestimmen?

Rein optisch kommen verschiedene Richtungen in Frage...

...obwohl es nur eine einzige Momentanrichtung gibt.

Wir suchen im Folgenden nach einer Methode, diese Momentanrichtung rechnerisch zu bestimmen.

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$

a)	Bestimme die Gleichung der Geraden durch PQ [bzw. durch RS]
b)	An welcher Stelle verläuft die Tangente an den Graphen parallel zu der Geraden durch PQ [RS]?