Ableitung | MathePrisma

Beobachtung:	Je kürzer das Seil ist, desto häufiger entspricht die Seilrichtung der Momentanrichtung des Skaters.
Vermutung:	Je kleiner der Abstand zwischen Skater und Radfahrer ist, desto mehr nähern sich die Richtungen an.

Natürlich kann man den Abstand zwischen Skater und Radfahrer nicht endlos kürzen, weil sie irgendwann aneinanderstoßen. Also muss man die Sportler durch Punkte ersetzen.
Zuvor sollte man sich mit dem nötigen Fachvokabular vertraut machen.

mathematisches Vokabeltraining

	Orginale Laufstrecke
	Mathematisch denkt man sich die Laufstrecke (L) als Graph einer Funktion.
	Der Skater (S) und der Radfahrer (R) sind zwei unterschiedliche Punkte dieses Graphen.
	Das Seil ist die Sekante durch S und R auf dem Graphen L.
	Die blaue Gerade zeigt die momentane Fahrtrichtung des Skaters. Sie "berührt" den Graphen im Gegensatz zur roten Geraden nur im Punkt S. Sie ist dort also Tangente an den Graph L.

Standbild!

Wir halten nun das Rennen von Radfahrer und Skater an!
Man sieht die momentane Fahrtrichtung des Skaters.
Der Radfahrer ist um die Länge des Seils vom Skater entfernt.

Momentaufnahme

Beobachte, wie sich die Richtung der Sekante der Richtung der Tangente nähert, wenn sich der grüne Punkt dem roten Punkt nähert.

Vorteil

Mathematisch kann man jeden noch so kleinen Abstand beliebig verringern.

So lässt sich dann auch aus der Sekantensteigung die Tangentensteigung berechnen. Und wie berechnet man die Sekantensteigung?

a)	$f(x) = 5x^{4}-3x^{7}$	b)	$f(x) = x^{-2}+ \frac{5}{x}$	c)	$f(x) = (x^{3}+4x^{2})^{2}$
d)	$f(x) = (x+3)^{2}-x^{5}$	e)	$f(x) = mx^{4}·(n^{2}+4)$	f)	$f(x) = (x^{3}-4)^{3}·e^{4x}$

a)	Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ihren Definitionsbereich
b)	Berechne $g(x) = (x^{2}-3)+5\sqrt{x}$ .

a)	$f(x) = 3x^{5}$
b)	$f(x) = 8mx+50nx^{4}-2x^{n}$
c)	$f(x) = x^{n+1}-x^{n+2}$