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Ableitung

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Auf die Plätze,
fertig,
los!

Für die Berechnung der Geradensteigung benötigt man zwei Punkte der Funktion. Die Tangente berührt den Graphen aber in nur einem Punkt an der Stelle \(x_0\).
Also wählt man einen weiteren Punkt der Funktion, den man beliebig nahe an \(x_0\) schiebt.

Momentaufnahme

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x2.
Gesucht ist die  Tangentensteigung  an der Stelle x0 = 1.

Mit Hilfe der Differenzenquotienten

\(a_1(x) = \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{x^2 - 1}{x-1}\)

nähern wir uns x0 = 1.

Beobachte,
wie sich die  Sekantensteigung der  Tangentensteigung nähert,
wenn sich der  grüne Punkt dem  roten Punkt  nähert.

Je geringer man den Abstand von x zu x0 wählt, desto sicherer kann man sein, dass die Tangentensteigung an der Stelle x0 den Wert   hat.

Mit anderen Worten:

Unser obiges Vorgehen fassen wir mit folgender Definition zusammen:

Definition

Ableitung

Existiert an der Stelle \(x_0\) des Definitionsbereichs \(\mathbb{D}(f)\) einer Funktion \(f\),
der Grenzwert \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\),

so wird dieser als Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) bezeichnet.
Die Schreibweise dafür lautet \(f^{\prime}(x_0)\) (sprich: "f Strich von x Null").

Die Funktion \(f\) heißt dann an der Stelle \(x_0\) differenzierbar.

geometrische Bedeutung:

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graph der Funktion \(f\) im Punkt \(\bigl(x_0 / f(x_0)\bigr)\) an.

Stelle jeweils verschiedene Werte für x0 ein und beobachte, wo die Steigung der Tangente negativ und wo positiv ist:

    

Voraussetzungen

Damit der Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion an einer Stelle \(x_0\) existieren kann, muss die zugehörige Funktion \(f\) bestimmte Voraussetzungen erfüllen.