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Bandornamente

Bandornamente

Bandsymmetriegruppen

Unendliche Symmetriegruppen

Die Definition der Gruppe trifft auch hier ins Schwarze.

Die möglichen grundlegenden Deckabbildungen für Bandornamente sind

  • Translationen T in Richtung der Bandachse,

  • Spiegelungen s | an senkrechten Achsen,

  • Gleitspiegelungen s_T an der Bandachse,

  • eine Spiegelung s_ an der Bandachse und

  • Drehungen d 180 um 180° mit Drehzentrum auf der Bandachse.

Für ein einfarbiges Zickzackstreifen-Pulloverband (im Foto) erkennt man folgende (prinzipiell vorhandene) Deckabbildungen:

Du hast ? von 2 möglichen Punkten erreicht.

Vielfalt

Das sind schon einmal einige mögliche Deckabbildungen eines Bandes, aber längst nicht alle. Denn zu der Symmetriegruppe gehören auch die Verknüpfungen der gefundenen Symmetrieelemente, also beispielsweise T\(\circ\) s |. Das ist aber keine der bereits bekannten Symmetrien, wie das stets bei der endlichen Symmetriegruppe einer einzelnen Figur der Fall war, sondern eine weitere. Wie viele gibt es denn eigentlich?

Für das große Tassenband im Foto erkennt man folgende Deckabbildungen:   

Du hast ? von 1 möglichen Punkten erreicht.

Einfalt?

Das ist abgesehen von der Identität nur eine einzige grundlegende Abbildung \(T\). Aber dabei bleibt es nicht, denn wegen der Existenz des Inversen (siehe Gruppendefinition) gehört auch die Umkehrabbildung \(T^{-1}\), die eine Translation in Gegenrichtung darstellt, mit dazu.

Die Gruppe ist auch abgeschlossen gegenüber der Verknüpfung von Elementen, daher sind z.B. \(T\circ T=T^2\), \(T^{-1}\circ T^{-1}=T^{-2}\), \(T\circ T \circ T=T^3\), usw. oder allgemein ausgedrückt alle Verknüpfungen \(T^n \), \(\;n \in \sf Z\hspace{-0.8ex}Z\) Elemente der Symmetriegruppe.

Da man die Verknüpfung mit \(T\) beliebig oft fortführen kann und dadurch immer neue Translationen mit einem anderen Verschiebungsbetrag entstehen, gibt es selbst im symmetrieärmsten Fall (Beispiel Tassenband) unendlich viele Symmetrieelemente. Das gilt natürlich auch für das Zickzackband und alle anderen Bandornamente, bei denen noch Drehungen und Spiegelungen und weitere zusammengesetzte Deckabbildungen hinzukommen.

Endgültige Definition

Ein Bandornament ist ein unendlich langes mit Ornamenten verziertes Band, das von Parallelen begrenzt ist. Als Deckabbildung gibt es eine Verschiebung kleinster Länge. Es können weitere Deckabbildungen auftreten. Die Menge aller Deckabbildungen eines Bandornaments bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Es gibt in jedem Fall unendlich viele Deckabbildungen.