Bruchgleichungen | MathePrisma

Wie war das mit dem Brennpunkt?

In welchem Zusammenhang Bildweite b und Gegenstandsweite g stehen, kann man sich anhand der Strahlensätze oder der Zeichnung plausibel machen.

In dem Beispiel haben wir eine Linse gewählt, bei der der Abstand des Brennpunktes von der Linse, also die Brennweite, 3 cm beträgt.

Verschiebe mit der Maus den Gegenstand.

Betrachte das Verhältnis b zu g und (b-3) zu 3.

Dieses Experiment zeigt, dass bei einer Linse mit Brennweite 3 cm für alle Gegenstandsweiten g die Quotienten $\frac{\text{b}}{\text{g}}$ und $\frac{\text{b - 3}}{3}$ gleich sind.

Man kann also die Gleichung $\frac{\text{b}}{\text{g}}=\frac{\text{b - 3}}{3}$ bilden und nach b auflösen. So kann man berechnen, wo der Film sein muss, damit das Bild scharf wird.

Wenn du die richtige Lösung nur durch Raten gefunden hast, solltest du dir die Umformungen einmal anschauen.

Fühlst du dich aber im Rechnen mit Gleichungen fit, können wir mit diesem Ergebnis gleich fortfahren.

$\frac{\text{b}}{\text{g}}=\frac{\text{b - 3}}{3}$		Damit die beiden Nenner g und 3 nicht mehr "stören", multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt, also mit 3g.

$\frac{\text{b}\cdot 3 \text{g}}{\text{g}}=\frac{(\text{b - 3})\cdot 3 \text{g}}{3} \; \Leftrightarrow \; 3\text{b} = \text{g} \cdot (\text{b}-3)$		Die Klammer auf der rechten Seite wird aufgelöst.

$3 \text{b}=\text{g} \cdot \text{b} - 3 \text{g} \quad \|-\text{g}\cdot \text{b}$		Jetzt bringen wir alle Terme, die b enthalten, auf die linke Seite.

$3 \text{b} -\text{g}\cdot \text{b} = -3 \text{g} \quad \cdot\|(-1)$		Weil die Minuszeichen stören, multiplizieren wir beide Seiten mit -1.

$-3\text{b} + \text{g}\cdot \text{b} = 3 \text{g}$		Die Terme auf der linken Seite stellen wir um.

$\text{g}\cdot \text{b} -3\text{b} = 3 \text{g}$		Dann klammern wir b aus.

$\text{b}(\text{g} -3) = 3 \text{g}$		Nun findest du aber alleine die richtige Lösung unter den vier Vorschlägen.