CT und LGS | MathePrisma

Wie kann man den Absorptionskoeffizienten berechnen, wenn man die Halbwertsdicke durch Experimente herausgefunden hat (siehe Tabelle in "Medizin und Physik 1")?

Wir halten fest

Der Absorptionskoeffizient ergibt sich als: $\displaystyle \mu=\frac{ln(2)}{d_h}$

Inhomogene Strukturen

Bei der Untersuchung eines Körperteils mit Röntgenstrahlen gibt es keine durchgehend homogenen Schichten. Die unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten will man nutzen, um die durchleuchtete Struktur abzubilden. Dazu zeigt die Diashow einige Grundüberlegungen:

Durchstrahlung einer inhomogenen Struktur

Zusammenfassung

Man darf annehmen, dass Körpergewebe aus homogenen Teilgebieten mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten besteht. Der Röntgenstrahl wird auf seinem Weg durch das Gewebe von jeder dieser Schichten in einer charakteristischen Weise geschwächt. Die Ausgangsintensität der ersten Schicht stellt die Eingangsintensität für die zweite Schicht dar. Die Ausgangsintensität hinter der zweiten Schicht ist Eingangsintensität für die dritte Schicht, usw. Man kann daher rechnen:

$\displaystyle I(d)=I(0)\cdot e^{-\mu_1\cdot d_1}\cdot e^{-\mu_2\cdot d_2}\cdot .. \cdot e^{-\mu_n\cdot d_n}$

oder mittels Potenzgesetz kürzer:

$\displaystyle I(d)=I(0)\cdot e^{-\mu_1\cdot d_1-\mu_2\cdot d_2-...-\mu_n\cdot d_n}$

Durch Logarithmieren der Gleichung erhält man die lineare Beziehung:

$\displaystyle ln\frac{I(d)}{I(0)}=-\mu_1\cdot d_1-\mu_2\cdot d_2-...-\mu_n\cdot d_n$

Die Anwendung eines Logarithmengesetzes und Vorzeichenwechsel bringt uns auf:

"Tomographenformel"

$\displaystyle ln\; I(0)-ln\; I(d)=\mu_1\cdot d_1+\mu_2\cdot d_2+...+\mu_n\cdot d_n$

$ln \; I(d)$ ist der Logarithmus der Intensität nach der Durchstrahlung aller $n$ Schichten, $ln \; I(0)$ ist der Logarithmus der Eingangsintensität. Die Koeffizienten $\mu_i$ und die Längen $d_i$ gehören zu den einzelnen durchlaufenen Schichten.

Auf der Basis der Tomographenformel kann im nächsten Kapitel das mathematische Modell eines Computertomographen entwickelt werden.