CT und LGS | MathePrisma

Verfeinerung

Teilt man nun die Schicht in sehr viele kleine Quadrate (Bildpunkte) auf, so muss die Berechnung der getroffenen Zellen und der Weglängen von einem Computer ausgeführt werden. Um für einen beliebigen Strahl bei n x n Zellen diese Werte zu ermitteln, benötigt man ein sicheres formales Verfahren (Algorithmus) wie es in der folgenden Diashow am Beispiel einer Koordinateneinteilung mit 3 x 3 Zellen dargestellt wird.

Algorithmus - Treffer und Weglängen

Sonderfälle

Was ist, wenn der Strahl waagerecht oder senkrecht verläuft?

Falls der Strahl waagerecht verläuft, also $m=0$ gilt, muss man nichts ändern. Nur wenn dazu auch der Wert b ganzzahlig ist, verläuft der Strahl genau auf einer waagerechten Zellrandlinie und die Gleichung wird in diesem Fall nicht verwendet.

Wenn im anderen Extremfall der Strahl senkrecht auf die Anordnung trifft, kann man das Koordinatensystem um 90° kippen und dann wie bei der waagerechten Anordnung verfahren.

Ein Verfahren für den Normalfall

Der dargestellte Algorithmus lässt sich von 3 x 3 auf eine n x n-Anordnung erweitern. Man kann ihn (mit Ausnahme der oben angeführten Sonderfälle) wie folgt zusammenfassen:

Berechne für $x=0$ bis $x=n$ alle Schnittpunkte $\displaystyle P_i(x|mx+b)$ mit den senkrechten Zellrandlinien.
Berechne für $y=0$ bis $y=n$ alle Schnittpunkte $\displaystyle Q_i(\frac{y-b}{m}|y)$ mit den waagerechten Zellrandlinien.
Sortiere die Punkte nach steigenden x-Koordinaten.
Falls Punkte doppelt vorkommen, entferne einen von den beiden.
Berechne für jeweils zwei aufeinander folgende Punkte den Abstand nach Pythagoras.
Identifiziere über den Mittelpunkt der Strecke $\displaystyle R'R''$ je zweier aufeinander folgender Punkte $\displaystyle R', R''$ die getroffene Zelle $i$ und weise die Weglänge $\displaystyle d_i$ zu. Die Weglängen der nicht getroffenen Zellen setze auf $\displaystyle d_i=0$ .

Dichtegleichung

Nach der Ermittlung der Weglängen kannst du für ein gegebenes Beispiel die Tomographenformel aufstellen. Fülle die offenen Felder in der interaktiven Aufgabe aus:

Tomographenformel für einen Strahl

Die Gleichung eines Strahls ist $\displaystyle g(x) = \frac 23x+\frac 43$ . Der Strahl trifft die Zellen 4, 8 und 9 mit den Weglängen $\displaystyle d_4=1.2$ , $\displaystyle d_8=1.2$ und $\displaystyle d_9=0.6$ (schriftliche Übungsaufgabe zum Modul). Das Bild zur Situation folgt. Die eigentlich unbekannten Dichtewerte können wir als Beobachter sehen; sie sollen durch die Messungen letztlich berechnet werden.

Die gemessene Intensität $\displaystyle I(d)$ des Strahls nach dem Durchlaufen der Zellen betrage $\displaystyle 0.3 \cdot I(0)$ . Stelle nun die Tomographenformel zur Bestimmung der unbekannten Absorptionskoeffizienten $\displaystyle \mu_i$ auf. Verwende die Fassung (vgl. "Medizin und Physik 4"):

$ln\frac{I(0)}{I(d)}=\mu_1\cdot d_1+\mu_2\cdot d_2+...+\mu_n\cdot d_n$

Berechne den natürlichen Logarithmus des Quotienten (auf eine Nachkommastelle gerundet) bzw. setze die bekannten Daten ein:

$\displaystyle =\mu_1\cdot$ $\displaystyle +\mu_2\cdot$ $\displaystyle +\mu_3\cdot$ $\displaystyle +\mu_4\cdot$
$\displaystyle +\mu_5\cdot$ $\displaystyle +\mu_6\cdot$ $\displaystyle +\mu_7\cdot$ $\displaystyle +\mu_8\cdot$ $\displaystyle +\mu_9\cdot$

Einige Summanden können entfallen. Nach dem Vereinfachen erhält man eine lineare Gleichung mit Unbekannten.

In unserem Beispiel gibt es insgesamt Unbekannte. Man benötigt also mindestens voneinander unabhängige Gleichungen. Man versucht dann, für dieses lineare Gleichungssystem (LGS) eine Lösung zu finden.

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Nach der Erörterung einer Grundsatzfrage werden wir in den folgenden Kapiteln untersuchen, wie die im Tomographen auftretenden Gleichungssysteme aussehen und mit welchen Verfahren man eine Lösung bestimmen kann.