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Grundidee

Der Grundgedanke des Verfahrens von Gauß besteht darin, ein System von n linear unabhängigen Gleichungen mit n Variablen, das in quadratischer Form vorliegt, durch Elimination von Variablen in ein gestaffeltes System in dreieckiger Form umzuwandeln. Die Variablen können dann schrittweise - beginnend mit der letzten Zeile - leicht aus den Gleichungen berechnet werden.

Beispiel

Aus dem Gleichungssystem (links vom Gleichheitszeichen in quadratischer Form)

entsteht durch Anwendung der Gauß-Elimination das gestaffelte System (links in dreieckiger Form)

Hieraus können die Werte der Variablen leicht bestimmt werden ("von unten her aufrollen"). Aus der letzten Zeile ist sofort erkennbar, dass $x_4$ den Wert 2 haben muss. Durch Einsetzen dieses nun bekannten Wertes in die 3. Zeile erhält man $2\cdot x_3 + 22\cdot 2 = 50$ , woraus sich $x_3=3$ ergibt.

Einsetzen der bisher bekannten Werte in Zeile 2 liefert $-3\cdot x_2 - 4\cdot 3 + 9\cdot 2 = 3$ , was zu $x_2=1$ führt. Zum Schluss erfolgt eine Einsetzung in Zeile 1. Dies liefert $2\cdot x_1 +6\cdot 1 + 4\cdot 3 - 2\cdot 2 = 22$ und ergibt für $x_1$ den Wert 4. Die Lösung des Gleichungssystems lautet damit: $x_1 = 4; x_2=1; x_3=3; x_4=2$ .

Kernfrage

Wie kann man die Quadratform in eine Dreiecksform umwandeln?

Verfahren

Das Gleichungssystem

wird erst einmal zur Verringerung des Schreibaufwandes in erweiterter Matrixschreibweise notiert:

Wird in der erweiterten Matrix für $k = 2, ..., n$ jeweils von der k-ten Zeile das $\displaystyle \frac{a_{k,1}}{a_{1,1}}$ -fache der ersten Zeile subtrahiert, so verschwinden nacheinander alle Elemente unterhalb des ersten Diagonalelements $a_{1,1}$ .

Aus

wird

Die in Klammern gesetzten Hochzahlen zeigen an, dass ab der zweiten Zeile die ursprünglichen Zahlen durch diesen ersten Schritt verändert wurden.

Entsprechend können im nächsten Schritt geeignete Vielfache der zweiten Zeile von den tiefer liegenden Zeilen subtrahiert werden, um alle Koeffizienten unterhalb des zweiten Diagonalelements $a_{2,2}$ auf Null zu setzen. Nach und nach erhält man so ein System der Form

Aus Vereinfachungsgründen wurden die Hochzahlen in Klammern weggelassen. Die jetzt hergestellte Dreiecksform kann durch Äufrollen von unten her" gelöst werden. Wenn man die Matrix mit konkreten Zahlen notiert, verzichtet man manchmal auf den senkrechten Strich.

usw.

Allgemein:

Das Verfahren funktioniert nur, wenn $a_{i,i} \neq 0$ gilt, da ansonsten der Multiplikator nicht definiert ist. Ist das Element $a_{i,i} = 0$ oder nahe bei 0, muss man die i-te Spalte der Matrix von der i-ten Zeile an abwärts nach dem Element mit dem größten Betrag durchsuchen. Hat man dieses Element $a_{j,i}$ gefunden, vertauscht man die i-te und j-te Zeile der Matrix und der Algorithmus wird fortgesetzt.

Existiert kein von $0$ verschiedenes Element $a_{j,i}$ , so besitzt das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung und der Algorithmus bricht ab.

Übungsbeispiel

Es soll das folgende System gelöst werden:

1. Stelle die erweiterte Matrix her.

2. Wie sieht die Matrix aus, nachdem alle Elemente unterhalb

a) des ersten Diagonalelements zu Null gemacht wurden?

b) des zweiten Diagonalelements zu Null gemacht wurden?

c) des dritten Diagonalelements zu Null gemacht wurden?

d) des vierten Diagonalelements zu Null gemacht wurden?

Wie lautet die Lösung?

$x_1=$ $x_2=$ $x_3=$ $x_4=$ $x_5=$

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