Warum Gauß doch nicht geht
Das an sich einfache Verfahren von Gauß hat einen großen Nachteil:
Die Herstellung der Dreiecksform und anschließendes Einsetzen benötigt sehr viele Multiplikationsschritte. Wir betrachten ein System mit n Gleichungen und n Unbekannten:
Die Erzeugung der Nullen in der ersten Spalte unterhalb von 
erfordert (n-1)-mal jeweils die Multiplikation der (n+1) Elemente der ersten Zeile mit dem richtigen Faktor und anschließendes Addieren zu den Elementen der betreffenden Zeile. Die Erzeugung aller Nullen in der zweiten Spalte unterhalb von 
erfordert weitere (n-2)
n Multiplikationen, usw.
Das Rückwärtseinsetzen erfordert noch einmal 
Multiplikationen.
Zur Herstellung der Dreiecksform benötigt man
![\[(n-1) \cdot (n+1) + (n-2) \cdot n + ... + 1\cdot 3 = \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot (i+2)=\frac{n(n-1)(2n+5)}{6}\]](imgTT144.gif){kind=small} |
Multiplikationen (Nachweis der Formel siehe Arbeitsblatt Startseite).
Das Rückwärtseinsetzen erfordert weitere Multiplikationen.
Zahl der Multiplikationen
Wie lange braucht ein Computer?
Angenommen, es stünde ein Rechner mit einer Taktfrequenz von 5 GHz zur Verfügung und eine Multiplikation würde nur einen Taktzyklus benötigen. Dieser Computer wäre dann mit dem Gaußverfahren für ein einziges Schichtbild etwa 1 200 000 s oder fast 14 Tage beschäftigt.
Man beachte, dass hierbei die notwendigen Additionen und die erforderliche größere Zahl der Gleichungen (400 000) noch nicht berücksichtigt sind. Zudem kommen auch Divisionen vor, die mehr als einen Taktzyklus benötigen. Andererseits ließe sich ausnutzen, dass das aus der Messung gewonnene Gleichungssystem sehr viele Nullen enthält. Die Rechenzeit lässt sich jedoch nicht auf ein erträgliches Maß reduzieren.
Fazit
Der Gaußsche Algorithmus ist aus Zeitgründen zur Lösung eines dermaßen großen Gleichungssystems nicht brauchbar.
Im nächsten Abschnitt wird ein iteratives Rechenverfahren vorgestellt, das den Zeitbedarf drastisch reduziert.
