CT und LGS
"Mathematik ist die beste Medizin"
Autor(en): Karl-Heinz Loch, Ulrich Schwebinghaus - Januar 2005
Kapitelübersicht
Einblicke
CT und MRT - Was nicht nur Patienten wissen wollen
Entwicklung eines mathematischen Tomographenmodells
Direkte und inverse Probleme
Ohne Computer geht es nicht
Ein LGS iterativ lösen
Punkte zählen, Quellen sichten
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
Begründe mit Hilfe der Logarithmengesetze (kannst du es auf zwei Arten?), dass gilt: 
Aufgabe 2
Betrachtet wird eine 3 x 3-Zellanordnung.
- Die Gleichung eines Röntgenstrahls sei
. Welche Zellen trifft der Strahl? Wie groß sind die Weglängen?
- Wie sieht nach dem auf Seite "Tomographenmodell 3" angegebenen Verfahren die Liste der Punkte aus, wenn der Strahl waagerecht entlang einer Zellrandlinie verläuft?
- Die Geradengleichungen für die Röntgenstrahlen werden mit dem Steigungsfaktor m aufgestellt, in der Modellmaschine wird immer der Winkel angezeigt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel und dem Steigungsfaktor?
Aufgabe 3
Beweise die Formel 
mittels vollständiger Induktion.
Aufgabe 4
Gegeben ist das folgende LGS:
- Löse das LGS mit dem Gaußverfahren.
- Löse das LGS mit dem vorgestellten iterativen Verfahren.
- Beweise für
: Bei dem iterativen Verfahren wird die jeweils aktuelle Gleichung durch die Ausgleichsrechnung stets erfüllt.
Aufgabe 5*
Bezug: Seite "Iterationsverfahren 2" und Nebenpfad ßchneller als der Algorithmus von Gauß"
Zeige allgemein: Bei einer Zellanordnung von n x n Zellen kann ein Strahl höchstens 2n-1 Zellen treffen
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Inhalt
Die Computertomographie ist eine medizinische Technik, die immer häufiger in der Diagnostik unterschiedlichster Erkrankungen eingesetzt wird.
Die dargestellten Modelle vereinfachen die in der Praxis benutzten Verfahren so weit, dass es auf Oberstufenniveau möglich ist, ein Grundverständnis der mathematischen Vorgänge bei der Computertomographie zu erreichen.
Das Modul vermittelt neben medizinischen und physikalischen Anmerkungen zur Praxis der Tomographie auch einen Zugang zu iterativen Verfahren bei der Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS). Dabei werden viele mathematische Kenntnisse angesprochen und aufgefrischt wie Exponentialfunktion, Logarithmus, Geradengleichungen, Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus und Vektoren.
Die als Applets entwickelten Modellmaschinen nutzen intern die dargestellten Rechentechniken und ermöglichen eine experimentelle Erfahrung mit der Iteration bei der Lösung eines LGS.
Glossar
Multiplikationen für das Gaußverfahren. Unter den Summanden ist 
als Potenz mit dem höchsten Exponenten enthalten. Bei der Bildauflösung von 512 x 512 ergeben sich ca. 
Multiplikationen.
Multiplikationen. Für die gleiche Bildauflösung benötigt man also 
Multiplikationen (siehe Details zur Aufwandsabschätzung).
