Craps | MathePrisma

Die geometrische Reihe

Eine Summe der Form

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n} \mathrm{p}^{i} = \mathrm{p}^{0} + \mathrm{p}^{1} + \mathrm{p}^{2} + ... + \mathrm{p}^{n}$

nennt man geometrische Reihe.

Für $\mathrm{p} \neq 1$ lässt sich der Wert dieser Reihe wie folgt berechnen:

	Multipliziere die Reihe mit (1-p).
	Die zweite Summe wird geschickt umskaliert.
	Beim Durchführen der Subtraktion ...
	... bleibt von jeder Summe nur ein Summand übrig.
	Damit erhalten wir also ...
	Wenn p $\neq$ 1 ist, darf man die Gleichung durch (1-p) teilen.

Summenformel für die geometrische Reihe

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n} \mathrm{p}^{i} = \frac{1 - \mathrm{p}^{n+1}}{1 - \mathrm{p}} \quad \text{für } \mathrm{p} \neq 1$

Was passiert für $n \; \rightarrow \; \infty$ ?

Für unendliche Reihen muss man den Grenzfall $n \; \rightarrow \; \infty$ betrachten:

Für unsere geometrische Reihe heißt das:

Damit können wir nun den Wert einer unendlichen geometrischen Reihe nach der folgenden Formel berechnen:

Summenformel für die unendliche geometrische Reihe

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{\infty} \mathrm{p}^{i} = \frac{1}{1-\mathrm{p}} \quad \text{für } |\mathrm{p}|<1$

Zurück zum konkreten Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit eines Sieges beim Crap-Spiel, wenn im ersten Wurf eine "4" oder "10" geworfen wurde, berechnet sich nach der Gleichung
$\displaystyle \mathrm{P_{4,10}}= \frac{1}{6} \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{i} \cdot \frac{1}{12}$
Die Summe können wir nun nach der soeben gefundenen Summenformel für die unendliche geometrische Reihe berechnen:

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4} \right)^{i} = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4$

Damit erhalten wir also:

$\displaystyle \mathrm{P_{4,10}}= \frac{1}{6} \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{i} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{18}$