Craps
"Die Würfel sind gefallen..."
Autor(en): Carsten Adenheuer, Daniel Hübschen, Sarah Zigman, Stefanie Krivsky - Februar 2002
Kapitelübersicht
eine Simulation des Würfelspiels Craps
Es werden die Wurfwahrscheinlichkeiten der möglichen Würfelpaare sowie die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit beim ersten Wurf erarbeitet.
Die klassische Variante, die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsbäumen zu bestimmen.
Der stochastische Prozess einer Markow-Kette (einschließlich Anlaufvektor, Übergangsmatrix, absorbierende Zustände, etc.) wird am Beispiel Craps erläutert.
Die Zustandswahrscheinlichkeiten nach n Würfen werden nun durch Matrixmultiplikationen berechnet.
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
Ein Craps-Spieler wirft im ersten Wurf eine 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...
a) ... dass er direkt mit dem zweiten Wurf gewinnt (also erneut eine 8 würfelt)?
b) ... dass er erst im dritten Wurf gewinnt?
c) ... dass er nach höchstens vier Würfen gewinnt?
Tipp: Zeichne dir als Hilfe das Pfaddiagramm hin. Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf einer 8 beträgt 5/36, die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler erneut würfeln muss, ist 25/36.
Aufgabe 2
Welche Augensummen kann man bei einmal würfeln mit drei Würfeln erzielen und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeweils ein solches Ergebnis?
Aufgabe 3
[Pfadregel]
Beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel kommt man mit einer 6 aus dem Haus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein neues Püppchen ins Spiel bringe, wenn ich maximal 3 mal würfeln darf? (Auch hier ist ein Pfaddiagramm hilfreich!)
Aufgabe 4
[Markoff]
Betrachte nun den Fall, dass du so lange würfeln darfst, bis die erste "6" fällt. Alle anderen Würfe werden als Zustand "1-5" zusammengefasst.
a) Trage die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen dem Zustand "6" und dem Zustand "1-5" in die Übergangsmatrix ein. Beachte dabei, dass der Zustand "6" ein absorbierender Zustand ist.
b) Ergänze die Übergangswahrscheinlichkeiten im unten stehenden Markoff-Diagramm.
Aufgabe 5
[Markoff]
Berechne mit Hilfe der Übergangsmatrix M und des Anlaufvektors a die Zustandswahrscheinlichkeiten beim Craps ...
a) ... nach 2 Würfen (M·a).
b) ... nach 3 Würfen (M2·a).
c) ... nach 4 Würfen (M3·a). (Vergleiche das Ergebnis aus c) mit dem dem Ergebnis aus Aufgabe 1 c).)
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Inhalt
Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Würfelspiels "Craps" wird mit Hilfe der Pfadregel oder mit Hilfe von Markoff-Ketten berechnet.
Das Modul dient dabei vor allem einer Einfürung in die Theorie der Markoff-Ketten.
Glossar
