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Absorbierende Zustände

Wer einmal gewonnen hat, braucht nicht mehr zu würfeln. Der Spieler kommt dann aus dem Zustand \(\mathrm{Z_1}\) ("gewonnen") nicht mehr heraus. Daher ist die Übergangswahrscheinlichkeit \(\mathrm{p_{11} = 1}\).

Definition

Einen Zustand \(\mathrm{Z_i}\), für dessen Übergangswahrscheinlichkeit \(\mathrm{p_{ii}} = 1\) gilt, nennt man absorbierenden Zustand. Hat der Prozess nämlich einen solchen Zustand erreicht, so kann er ihn nicht mehr verlassen.

Entsprechend sind \(\mathrm{p_{21}} = \mathrm{p_{31}} = \mathrm{p_{41}} = \mathrm{p_{51}} = 0\), denn wenn man einmal gewonnen hat, kann man keinen anderen Zustand mehr erreichen.

Zustand vorher
Zustand      
nachher      
  1 2 3 4 5
1 1 p12 p13 p14 p15
2 0 p22 p23 p24 p25
3 0 p32 p33 p34 p35
4 0 p42 p43 p44 p45
5 0 p52 p53 p54 p55

Auch der Zustand \(\mathrm{Z_5}\) ("verloren") ist ein absorbierender Zustand. Wer einmal verloren hat, darf nicht mehr würfeln und kann somit an seinem Zustand nichts mehr ändern. Es ist also auch
\(\mathrm{p_{55}} = \) 
\(\mathrm{p_{15}} = \mathrm{p_{25}} = \mathrm{p_{35}} = \mathrm{p_{45}} = \)  

Anschaulich

Zustand vorher
Zustand      
nachher      
  1 2 3 4 5
1 1 p12 p13 p14 0
2 0 p22 p23 p24 0
3 0 p32 p33 p34 0
4 0 p42 p43 p44 0
5 0 p52 p53 p54 1