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Craps

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n Würfe

Zustandswahrscheinlichkeiten nach dem zweiten Wurf


Die Zustände nach dem 1. und 2. Wurf im Überblick.

Durch Anwenden der Übergangsmatrix M auf den Anlaufvektor a erhielten wir auf der vorhergehenden Seite den Wahrscheinlichkeitsvektor a2 für die Zustandswahrscheinlichkeiten nach dem zweiten Wurf:

Zustandswahrscheinlichkeiten nach dem dritten Wurf

Die Übergangswahrscheinlichkeiten mit dem dritten Wurf sind dieselben wie zuvor mit dem zweiten Wurf.

Erneutes Anwenden der Übergangsmatrix M auf unseren Wahrscheinlichkeitsvektor a2 liefert uns also den Wahrscheinlichkeitsvektor a3 nach dem dritten Wurf:

        M · a2 = a3

\(a_2\) entstand jedoch bereits durch einmaliges Anwenden der Matrix M auf den Anlaufvektor a. Daher gilt:

        M · a2 = M · (M · a) = M2 · a

Zustandswahrscheinlichkeiten nach dem n-ten Wurf

Es ist also

M2 · a = a3 der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem dritten Wurf

M3 · a = a4 der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem vierten Wurf

M4 · a = a5 der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem fünften Wurf

...

Mn-1 · a = an der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem n-ten Wurf

Beobachte, wie sich mit wachsender Zahl von maximalen Würfen, die Wahrscheinlichkeiten der Zustände ändern.

  • Es kann eingestellt werden, wieviele Spiele gespielt werden sollen, aber nicht bis das Spiel gewonnen oder verloren ist, sondern nur bis zu einer maximalen Anzahl von eingestellten Würfen.
  • Dann kann die Anzahl der maximalen Würfe um 1 erhöht oder verringert werden.
  • Die Balken geben an, wieviele der Spiele sich beim Abbruch im Zustand gewonnen, Zustand verloren oder in einem der Zwischenzustände 1, 2 oder 3 befanden.

Zustandswahrscheinlichkeiten nach unendlich vielen Würfen

Um die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit sich nach unendlich vielen Würfen im Zustand \(\mathrm{Z_1}\) ("gewonnen ") zu befinden, zu bestimmen, muss die Matrix M unendlich oft auf den Anlaufvektor angewandt werden:

        M∞ · a = aGesamt

Die Einträge \(\mathrm{p_{ij}^{\infty}}\) der Matrix \(\mathrm{M^{\infty}}\) lassen sich durch einige Überlegungen auffinden, wie es auf der folgenden Seite gezeigt wird.