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Craps

Craps

n Würfe

Zustandswahrscheinlichkeiten nach unendlich vielen Würfen

Die Zustände nach dem 3. Wurf im Überblick.

Die Einträge \(\mathrm{p_{ij}^{\infty}}\) der Matrix M∞ entsprechen den Wahrscheinlichheiten mit der der Craps-Spieler durch unendlich häufiges Würfeln vom Zustand \(\mathrm{Z_j}\) in den Zustand \(\mathrm{Z_i}\) gelangt.

Wer lange genug würfelt gewinnt oder verliert!

Das System muss spätestens nach unendlich vielen Wurfwiederholungen in einen der beiden Endzustände ("gewonnen" bzw. "verloren") übergehen. Daher sind nach unendlich vielen Würfen die Übergangswahrscheinlichkeiten in die Zustände \(\mathrm{Z_2}\), \(\mathrm{Z_3}\) oder \(\mathrm{Z_4}\) gleich Null:

        \(\mathrm{p_{2j}^{\infty} = p_{3j}^{\infty} = p_{4j}^{\infty} = 0}\)


Zustand nach dem ersten Wurf
Zustand
nach
unendlich
vielen
Würfen
  1 2 3 4 5
1 p∞11 p∞12 p∞13 p∞14 p∞15
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 p∞51 p∞52 p∞53 p∞54 p∞55

absorbierende Zustände

Die Zustände \(\mathrm{Z_1}\) ("gewonnen") und \(\mathrm{Z_2}\) ("verloren") sind nach wie vor absorbierende Zustände. Daher gilt:

        \(\mathrm{p_{11}^{\infty} = p_{55}^{\infty} = 1}\) und

        \(\mathrm{p_{51}^{\infty} = p_{15}^{\infty} = 0}\)

Zustand nach dem ersten Wurf
Zustand
nach
unendlich
vielen
Würfen
  1 2 3 4 5
1 1 p∞12 p∞13 p∞14 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 p∞52 p∞53 p∞54 1

Übergänge nach "gewonnen"

Wer nach dem ersten Wurf im Zustand \(\mathrm{Z_2}\), \(\mathrm{Z_3}\) oder \(\mathrm{Z_4}\) startet, gewinnt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit nach i = 1, 2, 3, ... oder eben erst nach unendlich vielen weiteren Würfen. Insgesamt gewinnt er also mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{12}^{\infty} = \sum_{i=0}^{\infty}\biggl( \frac{3}{4}\biggr)^{i} \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\)

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{13}^{\infty} = \sum_{i=0}^{\infty}\biggl(\frac{13}{18}\biggr)^{i} \frac{1}{9} = \frac{2}{5}\)

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{14}^{\infty} = \sum_{i=0}^{\infty}\biggl(\frac{25}{36}\biggr)^{i} \frac{5}{36} = \frac{5}{11}\)

Wem das zu schnell geht, der sollte sich mit den Seiten über die Pfadregel beschäftigen!

Zustand nach dem ersten Wurf
Zustand
nach
unendlich
vielen
Würfen
  1 2 3 4 5
1 1 1/3 2/5 5/11 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 p∞52 p∞53 p∞54 1

Die Übergänge nach "verloren"

Hat der Spieler nach unendlich vielen Würfen nicht gewonnen, so muss er verloren haben. In einem Zwischenzustand kann er sich nicht mehr befinden. Daher berechnen sich die Gesamtübergangswahrscheinlichkeiten in den Zustand \(\mathrm{Z_5}\) ("verloren") für einen Spieler, der nach dem ersten Wurf im Zustand \(\mathrm{Z_2}\), \(\mathrm{Z_3}\) oder \(\mathrm{Z_4}\) startet, wie folgt:

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{52}^{\infty} = 1 - \sum_{i=0}^{\infty}\biggl(\frac{3}{4}\biggr)^{i} \frac{1}{12} = \frac{2}{3}\)

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{53}^{\infty} = 1 - \sum_{i=0}^{\infty}\biggl(\frac{13}{18}\biggr)^{i} \frac{1}{9} = \frac{3}{5}\)

        \(\displaystyle \mathrm{p}_{54}^{\infty} = 1 - \sum_{i=0}^{\infty}\biggl(\frac{25}{36}\biggr)^{i} \frac{5}{36} = \frac{6}{11}\)

Hier steckt eigentlich die Spaltenregel dahinter.

Zustand nach dem ersten Wurf
Zustand
nach
unendlich
vielen
Würfen
  1 2 3 4 5
1 1 1/3 2/5 5/11 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 2/3 3/5 6/11 1

Endform der Übergangsmatrix

Multipliziert man also die Übergangsmatrix M unendlich oft mit sich selbst, so erhält man die folgende Endform der Übergangsmatrix

        

Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit

Die Zustände nochmal im Überblick?

Multiplizieren wir nun die oben stehende Endform der Übergangsmatrix mit dem Anlaufvektor, so können wir sofort die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten nach unendlich vielen Würfen ablesen:

        

Ein faires Spiel?

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für den Zustand \(\mathrm{Z_1}\) ("gewonnen") ist also 244/495, und für den Zustand \(\mathrm{Z_5}\) ("verloren") 251/495. Das Glücksspiel Craps fällt also immer ganz leicht zu Gunsten der Spielbank aus.