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Der Zusammenhang mit dem Begriff der Gleichverteilung wird durch den folgenden Satz hergestellt ([19], Chapter 2, Corollary 1.1):

Kriterium

Die Folge $(x_n)_{n\ge 1}$ ist gleichverteilt modulo $1$ genau dann, wenn

$\begin{equation*} \lim\limits_{N\to\infty} D_N^\ast(x_1,...,x_N)=0. \end{equation*}$

Das ist insofern überraschend, als $\lim_{N\to\infty} D_N^\ast = 0$ eine viel stärkere Aussage zu sein scheint; sie besagt ja, daß die Konvergenz

$\begin{equation*} \frac{1}{N}\,\,\#\biggl\lbrace 1\le n\le N\,\Big| \,{x_n}\in[a,b)\biggr\rbrace \to b-a \end{equation*}$

in $a$ und $b$ gleichmäßig ist.

Deutung

Die Geschwindigkeit, mit der $(D_N^\ast)_{N\ge 1}$ gegen $0$ konvergiert, ist ein Maß dafür, wie gut Anfangsstücke der Folge $(x_n)_{n\ge 1}$ die Gleichverteilung approximieren.

Aus der Definition folgt sofort die untere Abschätzung

$\begin{equation} \label{10} D_N^\ast \ge \frac{1}{2N} \end{equation}$

(3)

([19], Chapter 2, Theorem 1.2 und 1.3).