Zufallszahlen | MathePrisma

Zahlenbeispiel

Zum Beispiel ist $\alpha=\sqrt{2}$ algebraisch irrational und hat damit den Typ $1$ . Es gilt also sogar

$\begin{equation*} \lim_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast(\sqrt{2}n)}{\log N} = -1 . \end{equation*}$

Ferner folgt aus (4) die Abschätzung

$\begin{equation*} \limsup_{N\to\infty}\frac{\log D_N^\ast(n\log n)}{\log N} \le -\frac{1}{5} . \end{equation*}$

Der Unterschied erklärt zumindest teilweise, warum in der numerischen Simulation der beiden Folgen $(\sqrt{2}n)_{n\ge 1}$ und $(n\log n)_{n\ge 1}$ die erste viel schneller die Grenzverteilung approximiert.

Demo

Hier ist eine Demonstration, in der die Diskrepanzen für beide Folgen berechnet werden (Bedienung).

In dieser Demonstration wird $-\log D_N^\ast/\log N$ berechnet.

Experimente

In der ersten Demonstration nimmt die Balkenhöhe für $(\sqrt{2}n)$ sehr regelmäßig ab und es ergibt sich als Einhüllende wie erwartet eine Hyperbel. Für $(n\log n)$ ist die Abnahme wesenlich unregelmäßiger und langsamer.
In der zweiten Demonstration kommt die Balkenhöhe für $(\sqrt{2}n)$ immer wieder dem Wert 1 nahe, und ist nie weit davon entfernt. Für $(n\log n)$ liegt die Balkenhöhe immer etwa bei 0.5. Das ist deutlich geringer als für die andere Folge, und deutlich höher als die theoretische Abschätzung, die eine Balkenhöhe von mindestens 0.2 vorhersagt.
Die gleichen Befunde ergeben sich bei beiden Demonstrationen, wenn man im benutzerdefinierten Modus den Startwert z.B. auf 1000 setzt und (in der ersten Demonstration) eine höhere Vergrößerung wählt.