Zufallszahlen | MathePrisma

Problem

Für die meisten Folgen ist es schwer, direkt auf Grund der Definition zu entscheiden, ob sie gleichverteilt sind. So anschaulich dieser Begriff ist, so schwer ist er analytisch zu fassen. Deshalb ist das folgende, 1917 von Hermann Weyl entdeckte Kriterium von zentraler Bedeutung ([19], Chapter 1, Theorem 2.1):

Kriterium

Eine Folge $(x_n)_{n\ge 1}$ ist genau dann gleichverteilt modulo $1$ , wenn für jede ganze Zahl $h\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ gilt

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N e^{2\pi ihx_n} = 0 . \end{equation*}$

Mit diesem Kriterium kann für Folgen die Gleichverteilung nachgewiesen werden, indem die Größenordnung der zugehörigen Exponentialsummen abgeschätzt wird.