Fraktale Plantagen | MathePrisma

Beginnend mit dem Oberhaupt werden hier alle Verwandte des Sierpinski-Dreiecks vorgestellt, also alle IFS-Attraktoren, die mithilfe von genau drei Transformationen mit den Stauchfaktoren $|0,5|$ entstehen. Im Gegensatz zu dem Applet auf der Hauptseite werden die Fixpunkte der IFS-Funktionen automatisch so eingestellt, dass das Ausgangsquadrat auf drei aneinander angrenzende Quadrate überdeckungsfrei abgebildet wird. Damit zeigen sich die Mitglieder des Clans in ihrer schönsten Gestalt.

Der ganze Clan

Einzelne Mitglieder werden gezielt bestimmt durch die Auswahl des Abbildungstyps für die Funktionen $f_1$ , $f_2$ und $f_3$ des IFS. Willst du einen schnellen Blick auf alle Spielarten werfen, nimmst du den Schalter "Film Start". Hast du etwas Zeit?

Nach wie vor lassen sich im "Ruhezustand" die Fixpunkte (blaue Kreise) verschieben. So manches Familienmitglied, das auf den ersten Blick wie ein Zwilling aussieht, offenbart dann vielleicht andere Wesenszüge.

Mitglied-Nr. 1

Wie kommen so viele Varianten zustande?

Die Gemeinsamkeit der verwendeten Transformationen ist, dass das Ausgangsquadrat jeweils auf ein Quadrat mit halber Kantenlänge abgebildet wird. Zusätzlich zu der Stauchung werden alle möglichen Symmetrietransformationen eines Quadrats angewandt und das sind die folgenden:

Der Buchstabe F dient zur Veranschaulichung der Transformationen. Die oberen vier sind Drehungen und die untere Reihe zeigt alle möglichen quadraterhaltenden Achsenspiegelungen.

Expertenwissen

Nicht alle Varianten sehen in der überdeckungsfreien Ausrichtung der Bildquadrate unterschiedlich aus. Es gibt 224 Zwillinge, die nicht-symmetrische Figuren darstellen und 8 symmetrische Figuren, die jeweils 8-fach auftreten.

Endliche Gruppen

Nur für Studenten und Mathe-Genießer:

Die 8 Symmetrietransformationen $q_i, i=0... 7$ eines Quadrats sind ein gutes Beispiel einer endlichen Gruppe $(G,\circ)$ .

Definition

Eine Menge von Elementen heißt Gruppe, wenn eine Verknüpfung $\circ$ definiert ist, so dass $q_j\circ q_k\in G$ (zuerst $q_k$ und dann $q_j$ anwenden) für alle Paare $q_j,q_k$ erfüllt ist und die folgenden Eigenschaften gelten:

Es gilt das Assoziativgesetz für je drei Elemente aus $G$ : $(q_j\circ q_k)\circ q_l=q_j\circ (q_k\circ q_l)$
Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ , so dass $q_j\circ e=q_j$ und $e\circ q_j=q_j$ für alle $q_j\in G$
Für jedes $q_j\in G$ gibt es ein inverses Element $q_j^{-1}\in G$ mit der Eigenschaft $q_j\circ q_j^{-1}=e$

Das neutrale Element $e$ in der Gruppe der Symmetrietransformationen des Quadrats ist in unserem Fall die Transformation $q_0$ , an anderer Stelle auch Identität genannt.

Du kannst selbst prüfen, ob die anderen Bedingungen erfüllt sind. Inverses Element zu $q_1$ ist beispielsweise das Element $q_3$ , denn $q_3(q_1(F))=q_1(q_3(F)=F$ , also die Hintereinanderausführung einer 90°-Drehung und einer 270°-Drehung bei einer Figur $F$ ergibt wieder die Ausgangsfigur $F$ . Übrigens ist die Verknüpfung in unserer Gruppe nicht kommutativ, denn eine andere Reihenfolge der Transformationen liefert in den meisten Fällen auch ein anderes Bild.

Interessant ist auch die Tatsache, dass die vier Drehungen zusammen mit der Verknüpfung eine zyklische Untergruppe von $(G,\circ)$ darstellen, denn erstens sind für diese abgeschlossene Teilmenge alle Gruppenbedingungen erfüllt und zweitens lässt sich jedes Element aus der Menge der Drehungen durch eine mehrfache Ausführung der 90°-Drehung ersetzen. Andere Zusammenhänge zwischen den Transformationen sind im Bild oben bereits vermerkt.

Das konsequente Verfolgen dieser Beziehungen in der betrachteten Symmetriegruppe hat zu dem oben angegebenen "Expertenwissen" geführt. Eine Vertiefung findet sich bei Peitgen [1], S. 292-300.