Fraktale Plantagen | MathePrisma

Zwei Verfahren - ein Ergebnis

Die beiden betrachteten Verfahren sind der Deterministische Algorithmus und der Zufalls-Iterations-Algorithmus, den wir immer kurz das Chaosspiel nennen. Es ist gar nicht so erstaunlich, dass beide Verfahren zum gleichen Ergebnis kommen, denn in jedem Prozess wird dasselbe IFS verwendet. Im Falle des Sierpinski-Dreiecks besteht es aus drei Zentrischen Streckungen mit dem Faktor 0,5 und mit Zentren, die die Eckpunkte des entstehenden Dreiecks bilden.

Herr Sierpinski kann auch anders...

Ein anderes Beispiel: Das IFS besteht wieder aus drei Funktionen; diesmal sind auch Drehungen im Spiel. Links ist jeweils das Bild zu sehen, das deterministisch aus dem Bild des Mathematikers entsteht und rechts das Ergebnis des Chaosspiels mit einzelnen Punkten. Steht der Mauszeiger über dem Bild, sehen wir eine Figur nahe am Attraktor, sonst eine frühere Zwischenstufe im Rückkopplungsprozess.

Nun lösen wir uns von allen Beispielen und sehen uns beide Algorithmen genauer an.

Der Deterministische Algorithmus

Beim Chaosspiel sieht der Anfang genau gleich aus, aber das weitere Vorgehen unterscheidet sich deutlich:

Das Chaosspiel (Zufallsalgorithmus)

Bitte beantworte nun ein paar Fragen zu den beiden Algorithmen.

Deterministischer Algorithmus und das Chaosspiel

1. Was haben der Deterministische Algorithmus und das Chaosspiel gemeinsam?

Man benötigt ein IFS
Man verwendet ein Startbild
Bei gleichem IFS einen strukturgleichen Attraktor
Es beginnt mit einem Startpunkt

2. Trage bei den folgenden Aussagen ein, auf welches Verfahren sie jeweils zutreffen.
Verwende die Ziffer

1 für den Deterministischen Algorithmus
2 für das Chaosspiel
3 falls die Aussage für beide Verfahren zutrifft.

Es wird das vollständige Zeichenfeld iteriert.
Man sieht nur Punkte des Attraktors.
Zu Beginn darf das Zeichenfeld nicht leer sein.
Nicht alle Zwischenergebnisse der Iteration gehören zum Attraktor.
Das Verfahren erinnert an einen Kopierer mit Verkleinerungsfunktion.

3. Richtig oder falsch?

Beim Chaosspiel braucht man viel mehr Iterationen für ein ansehnliches Bild.
Wenn man mit einem falschen Punkt beginnt, bleibt das Chaosspiel erfolglos.
Der Deterministische Algorithmus benötigt mehr Speicherplatz.

Du hast ? von 7 möglichen Punkten erreicht.

Welchen Algorithmus nehmen?

Der Deterministische Algorithmus zeigt vor allem in den Anfangsstufen, welche geometrischen Operationen zum Einsatz kommen. Beeindruckend ist auch, dass man ein beliebiges Startbild benutzen kann.

Das Chaosspiel erfordert geringen Aufwand und lässt bereits nach wenigen gesetzten Bildpunkten den Attraktor erahnen und insbesondere Nachbildungen von Naturformen wirken oft "natürlicher".

Eine Erweiterung des Systems macht fraktale Darstellungen noch vielfältiger und interessanter...

Man benötigt zunächst ein IFS, also ein System von kontrahierenden Funktionen bzw. verkleinernden geometrischen Operationen. Die Anzahl der Operationen sei $n$ .

Außerdem braucht man ein beliebiges Ausgangsbild, das nicht völlig leer sein darf.

Mit diesen Bestandteilen beginnt man einen Rückkopplungsprozess (Iteration), der wie folgt abläuft:

Das aktuelle Bild wird angezeigt. Wende nacheinander die $n$ Funktionen des IFS auf das aktuelle Bild an.

Die dabei entstandenen $n$ neuen Bilder, die kleiner als das aktuelle Bild sind und durch die Operationen eine bestimmte Lage in der Zeichenfläche annehmen, werden in einem temporären Bildspeicher überlagert.

Lösche das vorherige aktuelle Bild und nimm stattdessen das Überlagerungsbild. Dieses ist jetzt das aktuelle Bild, das angezeigt wird. Der temporäre Bildspeicher steht wieder für eine neue Überlagerung bereit.

Eine Stufe des Rückkopplungsprozesses (ein Iterationsschritt mit allen Funktionen des IFS) ist damit abgeschlossen. Wiederhole den beschriebenen Vorgang, bis sich keine sichtbare Veränderung mehr im angezeigten Bild ergibt.

Man benötigt zunächst ein IFS, also ein System von kontrahierenden Funktionen bzw. verkleinernden geometrischen Operationen. Die Anzahl der Operationen sei $n$ .

Außerdem nimmt man einen beliebigen Punkt der Zeichenfläche.

Mit diesen Bestandteilen beginnt man einen Rückkopplungsprozess, der wie folgt abläuft:

Wähle zufällig eine Funktion aus dem IFS. Wende diese Funktion auf den aktuellen Punkt an.

Nimm den erhaltenen Ergebnispunkt als neuen Ausgangspunkt. Wiederhole den vorherigen Schritt.

Speichere während der ersten ca. 100 Wiederholungen (Voriteration) den neuen Ergebnispunkt temporär, aber zeichne ihn nicht in die Bildfläche.

Bei der weiteren Iteration - wie vorher mit einer jeweils zufällig ausgewählten Funktion des IFS - wird jeder Ergebnispunkt in die Bildfläche gezeichnet.

Man darf davon ausgehen, dass die Bildpunkte, die nach der Voriteration entstehen, im Rahmen der Bildschirmauflösung zum Attraktor des IFS gehören.

Beende den Rückkopplungsprozess, wenn dir das aus Punkten zusammengesetzte Bild dicht genug erscheint.