Fraktale Plantagen

Kondensationsmengen und Plantagen

Einleitung

Fraktal-Algorithmen

IFS mit Kondensation

Plantagen

Typographische Fraktale

Auswertung, Quellen

Quadrat-Plantagen

Das Bild zeigt jeweils den Pythagorasbaum, links vom Deterministischen Algorithmus, rechts vom Chaosspiel-Algorithmus erzeugt. In beiden Fällen wird ein vierfarbiges Quadrat als Kondensationsmenge benutzt. Den Baum kann man auch als eine speziell strukturierte Plantage aus Quadraten sehen.

Algorithmen im Vergleich

Unter den genannten Bedingungen vergleichen wir nun erneut die beiden Algorithmen in zwei Diashows. Wir beginnen mit dem Deterministischen Algorithmus.

Deterministisch mit Kondensation

Zum Vergleich betrachten wir den Chaosspiel-Algorithmus mit Kondensationsmenge. Die abweichenden Farben dienen nur der Unterscheidung.

Chaosspiel mit Kondensation

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Offensichtlich lassen sich strukturgleiche Fraktale mit Kondensationsmenge sowohl mittels des Deterministischen Algorithmus als auch mittels eines modifizierten Chaosspiel-Algorithmus herstellen.

Die Erweiterung von der Allee- zur Plantage-Maschine kann man im Chaosspiel noch auf die Spitze treiben...

Man muss den vorher dargestellten Deterministischen Algorithmus prinzipiell nicht verändern, wenn man eine Kondensationsmenge $C$ benutzen will.

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Man hat wie vorher ein IFS und ein Startbild.

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Das Startbild bekommt dabei die Rolle der Kondensationsmenge $C$ , die erhalten bleiben soll. Darum wird das Anfangsbild in der Regel nicht das ganze Bild ausfüllen.

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Unter der Voraussetzung, dass der Algorithmus selbst nicht verändert werden soll, muss das IFS eine Transformation beinhalten, die alle Bildpunkte unverändert lässt. Es handelt sich um die sogenannte Identitätsabbildung, die man sich als verschiebungsfreie Zentrische Streckung mit dem Streckfaktor 1 vorstellen kann.

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Dann also beginnt die Iteration wieder damit, dass das Startbild als aktuelles Bild übernommen wird.

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Im Anschluss daran kommen nacheinander alle Funktionen des IFS zur Anwendung, um jeweils dasselbe Ausgangsbild zu transformieren.

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Diese transformierten Bilder sind wie vorher in einem Speicher zu überlagern.

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Wenn alle Funktionen des IFS einschließlich der Identität abgearbeitet worden sind, wird das Überlagerungsbild wieder zum Ausgangsbild für die nächste Iterationsstufe gemacht.

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Man hört mit dem Prozess auf, wenn das Ergebnis gefällt, bzw. wenn sich am Bild nichts mehr verändert.

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Die Identitätsabbildung hat bewirkt, dass das Ursprungsbild Teil des Attraktors ist.

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Da jedes Speicherbild als Überlagerungsbild der nächsten Stufe vorkommt, enthält der Attraktor außerdem verkleinerte Kopien des Startbildes.

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Wenn man im Chaosspiel eine Kondensationsmenge $C$ einsetzen will, muss man das ursprüngliche Verfahren stark abwandeln.

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Außer dem IFS benötigt man zwei weitere Transformationen.

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Das IFS ist für den Aufbau des Motivs zuständig, das als Kondensationsmenge $C$ fungiert.

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Die Zusatztransformationen sollen die Verteilung des Motivs übernehmen, also die Plantage aufbauen.

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Es erfolgt wieder die unsichtbare Voriteration, die - ausgehend von einem beliebigen Startpunkt - die Punkte zum Attraktor des Motivs bewegt.

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Mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit entscheidet sich der Algorithmus für den Aufbau des Motivs, ansonsten für den Aufbau der Plantage.

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Sollte der Motiv-Aufbau ausgewählt worden sein, erzeugt das bekannte Chaosspiel-Verfahren den nächsten Attraktorpunkt des Motiv-IFS. Dabei werden ausschließlich Punkte des Motiv-Attraktors als Ausgangspunkte verwendet.

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Im anderen Fall wird der Aufbau der verkleinerten Motiv-Kopien vorangetrieben. Dabei ist jeder Vorgängerbildpunkt geeignet.

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Man hört mit dem Prozess auf, wenn das Ergebnis gefällt, bzw. wenn das Bild dicht genug erscheint.

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Das Motiv-IFS und die besonderen Modalitäten bei der Auswahl der Vorgängerbildpunkte haben bewirkt, dass das IFS-Motiv Teil des Attraktors ist.

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Da auch zwei Plantage-Transformationen eingesetzt werden, enthält der Attraktor außerdem verkleinerte Kopien des IFS-Motivs.

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