Fraktale und Chaosspiel

Zuletzt war der Begriff Fixpunkt aufgetreten, obwohl es sich nur um eine Zahl handelte. Anstelle von Zahlen benutzen wir jetzt "echte" Punkte der Ebene. Die Funktionen $f$ von vorhin sind nun bestimmte zweidimensionale geometrische Abbildungen, auch Transformationen genannt.

Geometrische Abbildungen

Die gewählte Abbildung wird jeweils auf ein feststehendes Ausgangsrechteck (das "Proberechteck") angewandt. Das Ergebnis wird in derselben Zeichenebene dargestellt. Alle Abbildungen besitzen einen verschiebbaren Fixpunkt (Zentrum des großen blauen Kreises), der bei Anwendung der Abbildung unverändert bleibt.

Transformation:

Streckfaktor: Drehwinkel:

Scherwinkel:

Untersuche (Auswahl Transformation): Drehungen, Zentrische Streckungen, Drehstreckungen und Scherungen. Verschiebe den Fixpunkt. Verändere außerdem (falls aktiv): Streckfaktor, Drehwinkel und Scherwinkel.

Tipps: Man darf auch negative Zahlen benutzen. Achte dabei auf die Reihenfolge der farbigen Punkte. Die Streckfaktorbeträge sollten nicht viel größer als 1.5 sein, weil man sonst das Ergebnis nicht mehr sieht. Die Eingabetaste aktualisiert das Bild.

Mögliche Ergebnisse

Drehungen verändern die Lage der Ausgangsfigur, aber erhalten Winkel und Strecken.

Zentrische Streckungen stauchen oder dehnen die Ausgangsfigur in Richtung auf das Streckzentrum (Fixpunkt). Erhalten bleiben Winkel und Längenverhältnisse.

Die Drehstreckung ist eine Kombination aus Drehung und zentrischer Streckung. Erhalten bleiben demnach Winkel und Längenverhältnisse.

Die Scherstreckung kombiniert Scherung und zentrische Streckung. Erhalten bleiben Längenverhältnisse.

Negative Streckfaktoren verursachen zusätzliche Spiegelungen bzw. Drehungen.

1. Definition

Sei $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)$ eine Matrix mit reellen Zahlen und sei $\overrightarrow v$ ein fester Vektor der Ebene. Jede Abbildung $f$ mit $f (\overrightarrow p) = A \overrightarrow p + \overrightarrow v$ heißt affine Abbildung der Ebene.

Definitionsmenge ist die Menge aller Ortsvektoren $\overrightarrow p$ der Punkte der Ebene. Der Ortsvektor $\overrightarrow p$ eines Punktes $P$ ist die Verschiebung, die vom Ursprungspunkt $(0|0)$ zum Punkt $P$ führt. Man rechnet also einfach mit den Koordinaten von $P$ .

3. Definition

Ähnlichkeitsabbildungen ist der Name für Transformationen, die eine Matrix der Form $A=\left(\begin{array}{cc}k\cdot\cos\alpha&-k\cdot\sin\alpha\\ k\cdot\sin\alpha&k\cdot\cos\alpha\end{array}\right)$ besitzen. Dabei ist $\alpha$ der Drehwinkel und $k$ eine reelle Zahl.

Gilt darüber hinaus $|k|=1$ , ist die Ähnlichkeitsabbildung sogar eine Kongruenzabbildung.

Ähnlichkeitsabbildungen sind bei der Anwendung auf Figuren winkeltreu. Kongruenzabbildungen sind winkeltreu und streckentreu, was letztlich bedeutet, dass die Bildfigur deckungsgleich zur Ausgangsfigur ist. Insbesondere von den Ähnlichkeitsabbildungen werden wir im nächsten Kapitel ausgiebigen Gebrauch machen.