Fraktale und Chaosspiel

Es steht eine Erweiterung der Rückkopplungsmaschine bevor, durch die eine qualitative Veränderung der Bildpunktefolgen erzielt wird.

IFS und Chaosspiel

Wichtige Ergebnisse aus der Diashow stellen wir noch einmal heraus:

Zufall = Chaos?

Die Glücksrad-Rückkopplungsmaschine mit einem beliebigen Startpunkt und zufällig ausgewählten geometrischen Transformationen aus einem vorhandenen Satz von kontrahierenden Abbildungen führt das sogenannte Chaosspiel aus. Mit dieser Methode entstehen fraktale Grafiken wie das nächste Bild.

IFS

Die Funktionen $f_1, f_2, f_3, ..., f_n$ , die beim Chaosspiel für die zufällige Auswahl bei jeder Iteration zur Verfügung stehen, bilden ein System, das Iteriertes Funktionensystem oder auch Iteratives Funktionensystem oder kurz IFS genannt wird.

Kernfrage

Wie entstehen solche Bilder?

Oder genauer: Wieso erzeugen Rückkopplungsmaschinen mit mehreren Abbildungen ganz andere Bilder als Rückkopplungsmaschinen mit nur einer einzigen Abbildung?

	bekannt ist:	Bei Rückkopplungsmaschinen, die nur eine einzige Abbildung $f$ verwenden, gilt: "Ein Fixpunkt ist ein Objekt, das durch Anwenden einer Abbildung wieder auf sich selbst abgebildet wird."
	neue Interpretation:	Die komplexeren Maschinen erzeugen jeweils eine Figur, die auf sich selbst abgebildet wird, wie z.B. im Bild oben. Wir nennen diese Figuren Attraktoren. Das Bild zeigt also den Attraktor eines speziellen IFS.
	bekannt ist:	Der Begriff kontrahierend bei einer einzigen Abbildung $f$ bedeutet, dass der Abstand zweier Bildpunkte kleiner ist als der Abstand der zugehörigen Ausgangspunkte.
	neue Interpretation:	Mathematiker haben einen zentralen Satz über kontrahierende IFS bewiesen. Ein IFS ist kontrahierend, wenn der Bildpunktabstand je zweier Punkte kleiner ist als der Abstand der Ausgangspunkte unter der Voraussetzung, dass alle Funktionen des IFS nacheinander auf die Ausgangspunkte angewandt worden sind. Wenn die einzelnen Funktionen eines IFS kontrahierend sind, darf man sich dessen sicher sein.

Der zentrale Satz lautet:

Satz über IFS

Jedes kontrahierende IFS hat einen eindeutigen Attraktor. Die Anwendung des IFS auf den Attraktor ergibt wieder den Attraktor

Hast du die Begriffe verstanden?

Der Begriff Fixpunkt ist ein rein geometrischer Begriff.

ja
nein

Der Fixpunkt einer affinen Abbildung kommt heraus, wenn man die affine Abbildung auf ihn anwendet.

ja
nein

Jedes IFS besitzt einen Attraktor.

ja
nein

Der Einsatz der Glücksrad-Rückkopplungsmaschine mit IFS wird Chaosspiel genannt.

ja
nein

Der Attraktor eines IFS verändert sich bei jedem neuen Chaosspiel.

ja
nein

Ein IFS kann aus mehreren affinen Abbildungen bestehen.

ja
nein

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Bei Problemen mit dem Begriff des Fixpunkts: siehe auch S. 4.

Die folgenden Experimente sollen die Entstehung von Attraktoren plausibel machen.