Gierige Methoden

Huffman-Codes

Sudokus

Wechselgeld

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Arbeitsblatt

Aufgabe 1

a) Wir betrachten einen Münzsatz mit 5 Münzen mit den Werten

w(1) = 16, w(2) = 8, w(3) = 4, w(4) = 2, w(5) = 1.
Zeige, dass die gierige Strategie für das Wechselgeldproblem hier stets eine minimale Zahl von Münzen ergibt.
b) Verallgemeinere die Untersuchung von a) für den Fall, dass n Münzen mit den Werten

$w(1) = b^{n-1}, w(2) = b^{n-2}, ..., w(n-1) = b^{1}, w(n) = b^{0}$

vorliegen. Dabei ist $b$ eine ganze Zahl $\geq 2$ .

Aufgabe 2

Man kann jeden Bruch $\displaystyle \frac{p}{q}$ mit $1\leq p \leq q$ als sog. ägyptischen Bruch darstellen, d.h.

$\frac{p}{q} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + ... + \frac{1}{q_n}.$

Dabei sind die Nenner $q_i$ paarweise verschiedene natürliche Zahlen. Die Anzahl $n$ der Glieder hängt von $p$ und $q$ ab.
a) Beschreibe einen auf einer gierigen Strategie beruhenden Algorithmus, welcher für gegebenes $p$ und $q$ die Nenner $q_i$ in der Darstellung als ägyptischer Bruch bestimmt.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 3

Auf einer sehr langen Autofahrt (z.B. von Wuppertal nach Wladiwostok) soll möglichst selten zum Tanken angehalten werden. Die Tankstellen entlang der Strecke sind mit T(i) durchnummeriert. Folgendes ist bekannt:

Das Auto besitzt den konstanten Benzinverbrauch v.
Tankstelle T(i) befindet sich an Streckenkilometer d(i)..
Der Tank besitzt einen Inhalt I.

a) Beschreibe eine gierige Strategie zur Lösung dieser Aufgabe.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 4

a) Führe alle Schritte des Huffman-Algorithmus für den nachstehenden Zeichensatz mit den angegebenen Häufigkeiten aus:

	Zeichen z	a	i	o	l	k	n	t
	h(z)	11	6	5	9	3	4	4

b) Gib mit dem in a) berechneten Codierungsbaum die Codierungen für die Wörter "koala", "aioli" und "koalition" an.

c) Wie groß ist die gewichtete externe Pfadlänge des Codierungsbaums aus a)?

Aufgabe 5

Beim Nachweis der Eigenschaft der gierigen Wahl auf der Seite Huffman-Codes 4 hatten wir einen optimalen Codierungsbaum so umgebaut, dass die Zeichen z1 und z2 Geschwister in maximaler Tiefe wurden. Wenn sie das nicht schon vor dem Umbau waren, müssen einige Zeichen mit genau den gleichen Häufigkeiten wie z1 und z2 vorkommen. Welche (Blätter in dem angegebenen Codierungsbaum) sind das?

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Zum Abschluss behandeln wir einen berühmten Klassiker unter den gierigen Algorithmen.
Es geht darum, einen Text digital möglichst kurz zu codieren.

ASCII: american standard code for information interchange

Eine wichtige digitale Codierung ist der ASCII-Code:
Die 256 gebräuchlichsten Zeichen werden jeweils mit 8 Bit dargestellt z.B.

	e	i	n	t	B	}
	01100101	01101001	01101110	01110100	00100100	01111110

In der Kürze liegt die Würze

In der digitalen Kommunikation ist es wichtig, Nachrichten möglichst kurz zu codieren. Die Übertragungszeit wird dann gering.

Was trifft zu?

Eine Codierung mit fester Länge (z.B. 8 Bit wie bei ASCII) ist dafür gut geeignet.
Eine Codierung mit variabler Länge ist dafür gut geeignet.
Selten vorkommende Zeichen können ruhig eine längere Codierung haben.
Häufig vorkommende Zeichen sollten eine kurze Codierung haben.
Es ist völlig egal, denn alle Codierungen sind gleich lang.