Gierige Methoden

Huffman-Codes

Sudokus

Wechselgeld

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Arbeitsblatt

Aufgabe 1

a) Wir betrachten einen Münzsatz mit 5 Münzen mit den Werten

w(1) = 16, w(2) = 8, w(3) = 4, w(4) = 2, w(5) = 1.
Zeige, dass die gierige Strategie für das Wechselgeldproblem hier stets eine minimale Zahl von Münzen ergibt.
b) Verallgemeinere die Untersuchung von a) für den Fall, dass n Münzen mit den Werten

$w(1) = b^{n-1}, w(2) = b^{n-2}, ..., w(n-1) = b^{1}, w(n) = b^{0}$

vorliegen. Dabei ist $b$ eine ganze Zahl $\geq 2$ .

Aufgabe 2

Man kann jeden Bruch $\displaystyle \frac{p}{q}$ mit $1\leq p \leq q$ als sog. ägyptischen Bruch darstellen, d.h.

$\frac{p}{q} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + ... + \frac{1}{q_n}.$

Dabei sind die Nenner $q_i$ paarweise verschiedene natürliche Zahlen. Die Anzahl $n$ der Glieder hängt von $p$ und $q$ ab.
a) Beschreibe einen auf einer gierigen Strategie beruhenden Algorithmus, welcher für gegebenes $p$ und $q$ die Nenner $q_i$ in der Darstellung als ägyptischer Bruch bestimmt.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 3

Auf einer sehr langen Autofahrt (z.B. von Wuppertal nach Wladiwostok) soll möglichst selten zum Tanken angehalten werden. Die Tankstellen entlang der Strecke sind mit T(i) durchnummeriert. Folgendes ist bekannt:

Das Auto besitzt den konstanten Benzinverbrauch v.
Tankstelle T(i) befindet sich an Streckenkilometer d(i)..
Der Tank besitzt einen Inhalt I.

a) Beschreibe eine gierige Strategie zur Lösung dieser Aufgabe.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 4

a) Führe alle Schritte des Huffman-Algorithmus für den nachstehenden Zeichensatz mit den angegebenen Häufigkeiten aus:

	Zeichen z	a	i	o	l	k	n	t
	h(z)	11	6	5	9	3	4	4

b) Gib mit dem in a) berechneten Codierungsbaum die Codierungen für die Wörter "koala", "aioli" und "koalition" an.

c) Wie groß ist die gewichtete externe Pfadlänge des Codierungsbaums aus a)?

Aufgabe 5

Beim Nachweis der Eigenschaft der gierigen Wahl auf der Seite Huffman-Codes 4 hatten wir einen optimalen Codierungsbaum so umgebaut, dass die Zeichen z1 und z2 Geschwister in maximaler Tiefe wurden. Wenn sie das nicht schon vor dem Umbau waren, müssen einige Zeichen mit genau den gleichen Häufigkeiten wie z1 und z2 vorkommen. Welche (Blätter in dem angegebenen Codierungsbaum) sind das?

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Im Algorithmus von Huffman wird die Menge M ständig verändert:

Am Anfang besteht M aus den Zeichen des vorgegebenen Zeichensatzes Z.
Die Elemente von M sind immer Bäume, deren Blätter die Zeichen aus Z sind.
Das Gewicht eines jeden solchen Elements von M ist die Summe der Gewichte seiner Blätter.

Begriffe

Einen Codierungsbaum für den vorgegebenen Zeichensatz Z bezeichnen wir mit T(Z).
Wir sprechen von einem Codierungsbaum für M, notiert als T(M), wenn wir jedes Element von M - dieses Element ist selbst ein Baum - als neues 'Zeichen' mit dem entsprechenden Gewicht auffassen.
Zentral ist: Jeder Codierungsbaum T(M) induziert einen Codierungsbaum T(Z). Nämlich einfach dadurch, dass wir die Elemente von M als Bäume mit Blättern aus Z ansehen.

Begründungen erhältst du, wenn du mit der Maus über die Zusicherung fährst.

Jetzt weisen wir nach, dass der Huffman-Algorithmus tatsächlich einen optimalen Codierungsbaum bestimmt. Dazu fügen wir in geschweiften Klammern { } Zusicherungen in den Algorithmus ein.