Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Der Ansatz

Die vier Personen möchten ihre Vermutung nun mittels einer Stichprobe bestätigen.

Stichprobe soll vom Umfang n = 25 sein.
Für jede Einzelmessung hat man die Zufallsvariable $X_i$ , die nach Durchführung einer Messung den Inhalt des Maßkruges angibt.
Das sich ergebende Stichprobenmittel wird mit $\bar{X} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n X_i$ bezeichnet.

Die Idee

Die Entscheidung gegen $H_0$ und damit für die eigentliche Vermutung $H_1$ kann getroffen werden, indem man vorab für jede der vier Hypothesen ein (Konfidenz-) Intervall $I$ in Abhängigkeit von $H_0$ bestimmt und dann nach Durchführung der Stichprobe die folgende Regel anwendet:

	$\bar{X} \in I$	Entscheidung für $H_0$
	$\bar{X} \notin I$	Entscheidung für $H_1$

Die Intervalle $I$ können einseitig oder auch zweiseitig sein, und werden so bestimmt, dass die Konfidenzwahrscheinlichkeit einen vorab gewählten Wert annimmt. Wir rechnen mit 1 - $\alpha$ = 95%. Das führt zu einem Fehler von $\alpha$ = 5%, der für die meisten Anwendungen akzeptabel ist. Im ersten Kapitel haben wir ja schon herausgefunden, dass der $\alpha$ -Fehler gravierender ist und möglichst reduziert werden sollte.

Was war denn noch der $\alpha$ -Fehler?

Erwartungswert

Wie im Kapitel über Konfidenzintervalle wollen wir die Normalverteilung annehmen, um die Intervalle berechnen zu können. Dazu muss man den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ kennen.

Da man davon ausgeht, dass die Hypothese $H_0$ zutrifft, wählt man für $\mu$ den zugehörigen Wert von $H_0$ . Handelt es sich dabei um einen Bereich, wie zum Beispiel bei dem Konsumenten mit $H_0$ : $\mu \geq 1$ , dann nimmt man zu Ungunsten der eigenen Vermutung den Grenzfall $\mu$ = 1, da dann das Intervall $I$ größtmöglich ist und man sich häufiger für $H_0$ entscheiden wird. Dies kannst du durch Bewegen des Mauszeigers auf das folgende Bild erkennen:

Die Standardabweichung

Führt man einen bestimmten Hypothesentest häufiger durch, dann hat man Erfahrungswerte für die Standardabweichung $\sigma$ . Ansonsten muss man vorab eine Stichprobe durchführen, um $\sigma$ zu schätzen. Dies ist auch bei unserem Beispiel der Fall. In der folgenden Simulation werden wir in einer "Langzeituntersuchung" den Inhalt von 500 zufällig ausgewählten Maßkrügen messen. Aus den Messdaten bestimmen wir die Standardabweichung einer Einzelmessung.

Simulation einer Stichprobe auf dem Oktoberfest

Das Stichprobenmittel

Man erhält ungefähr $\sigma$ = 0,1. Da wir jetzt Werte für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ haben, können wir die Normalverteilung zu den Messungen unter Annahme von $H_0$ angeben. Das gilt auch für das Stichprobenmittel der finalen Testmessung mit einem Stichprobenumfang von n = 25, wobei die Parameter $\mu$ und $\sigma$ für das Stichprobenmittel zu wählen sind. Der Erwartungswert ändert sich nicht, doch was ist mit der Standardabweichung?

Nebenpfad: "Wichtige Begriffe" im Kapitel Stichprobenerhebungen