Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Der Konsument

Es soll nun das Intervall für den Konsumenten bestimmt werden, so dass die Wahrscheinlichkeit eines $\alpha$ -Fehlers höchstens 5 % beträgt. Fassen wir noch einmal zusammen:

		Gegenhypothese $H_0$	Hypothese $H_1$
	Konsument	$\mu \geq 1$	$\mu < 1$

Herleitung des Intervalls für den Konsumenten

	Der Konsument geht von der Gegenhypothese $H_0$ aus, dass im Mittel mindestens 1,00 Liter Bier eingeschenkt wird. Wir betrachten den Grenzfall $\mu$ = 1,00.
	Unter Annahme dieser Hypothese ist das Stichprobenmittel bei einer Stichprobe der Länge n = 25 annähernd normalverteilt mit $\mu$ = 1 und $\sigma$ = 0,02.
	Unter diesen Voraussetzungen kommen in 5% der Fälle Stichprobenmittel mit einem Wert unter 0,97 Liter vor. Wenn die endgültige Testmessung dieses seltene Ergebnis liefert, geht man dann davon aus, dass $\mu$ < 1 gilt. Man entscheidet sich also für die Hypothese $H_1$ und nimmt eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% in Kauf.
	Das Intervall für die Annahme der Gegenhypothese $H_0$ lautet also $I$ = [0,97 ; $\infty$ [.

Bei den Hypothesentests geht es - wie auch bei den Konfidenzintervallen - im Wesentlichen um die Bestimmung von Flächeninhalten der Verteilungsfunktion. In der folgenden Aufgabe werden den vier Personen die entsprechenden Skizzen und die zu bestimmenden Intervalle für den Annahmebereich der Gegenhypothese H ₀ zugeordnet.

Tipp: Wiederhole, wie d für einseititge und zweiseitige Intervalle im Kapitel über Konfidenzintervalle bestimmt wird.

Schiebe die Bilder in die entsprechenden Felder

Jetzt werden wir die Intervalle $I$ für den Annahmebereich der Hypothesen bestimmen und können dann das Testverfahren durchführen.

Mit den folgenden Applets aus dem Kapitel über Konfidenzintervalle kannst du die benötigten Intervalle ausrechnen.

Für h ist der Parameter $\mu$ der Gegenhypothese $H_0$ einzusetzen. Hier beträgt er für alle vier Personen 1 Liter. Den Wert der Standardabweichung hatten wir schon vorher zu 0,02 bestimmt.

Zum Applet "Einseitige Intervalle"

Beispielwerte:

	1 - $\alpha$	95%
	h	1
	Verteilung	Normal
	$\sigma$	0.02

Zum Applet "Zweiseitige Intervalle"

Beispielwerte:

	1 - $\alpha$	95%
	h	1
	Verteilung	Normal
	$\sigma$	0.02

Jetzt kann die eigentliche Testmessung beginnen. Wir hatten zwar schon auf der vorigen Seite eine Testmessung durchgeführt, doch diese konnten wir nicht für den Hypothesentest verwenden, da erst einmal die Standardabweichung der Messung bestimmt werden musste. Dies ist bei Hypothesentests die Regel.

Nun wird der Inhalt von 25 zufällig ausgewählten Maßkrügen gemessen. Wenn der Mittelwert in dem entsprechenden Intervall $I$ liegt, wird die Gegenhypothese $H_0$ angenommen, ansonsten wird sie verworfen.

Simulation einer Stichprobe auf dem Oktoberfest

Bei der Simulation war ein Mittelwert von 0,95 Litern eingestellt. Bis auf den Manager trifft also für jede Person die Vermutung zu. Das Testverfahren sollte demnach für den Manager die Gegenhypothese $H_0$ nahelegen und für alle anderen Personen die Hypothese $H_1$ . Bei mehrfacher Durchführung der Testmessung erkennst du die stochastischen Fehler:

Übrigens

Zwischen dem Ergebnis bei Konsument und Journalist besteht kein Unterschied. Allerdings lässt sich im Beispiel des Journalisten der $\beta$ -Fehler bestimmen, da er einen Alternativwert für $\mu$ angegeben hat.

Zur Erinnerung: Dieser Fehler führt zu einer falschen Annahme der Gegenhypothese $H_0$ , obwohl die Hypothese $H_1$ zutrifft.

Hypothesentests lassen sich einfach verallgemeinern. Das folgende Applet ermöglicht für beliebige normalverteilte Zufallsvariablen die Angabe von $\alpha$ - und $\beta$ -Fehler in Abhängigkeit des Intervalls $I$ .

Allgemeine Bestimmung von $\alpha$ - und $\beta$ -Fehler beim Hypothesentest mit normalverteilten Zufallsvariablen

Es hat sich gelohnt!

Damit kannst du nun sämtliche Hypothesentests durchführen bzw. alle Aufgaben über Hypothesentests in den Statistikbüchern lösen ;-)

Konsument:	$I_K$ = [ ; $\infty$ [
Manager:	$I_M$ = ]- $\infty$ ; [
Bedienung:	$I_B$ = [ ; [
Journalist:	$I_J$ = [ ; $\infty$ [

	Entscheidung für H₀	Entscheidung für H₁
Konsument:
Manager:
Bedienung:
Journalist:

Konfidenzwahrscheinlichkeit	1-α =	%
Stichprobenergebnis	h =

Konfidenzwahrscheinlichkeit	1-α =	%
Stichprobenergebnis	h =