Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Der Spitzenkandidat der Blauen Partei hat sich dazu entschlossen seinen Berater zu verklagen, weil er glaubt, dass dieser ihm schaden wollte und ihn bewusst belogen hat. Ein Lügendetektor soll dazu die nötigen Beweise liefern:

Der Lügendetektor

Ein Lügendetektor (Polygraph) misst simultan die Änderungen von Puls, Blutdruck und Hautfeuchtigkeit. Diese werden zusammengerechnet und auf einer Skala von 0 bis 10 dargestellt (0 bedeutet keine Änderung, 10 eine sehr starke). Die exakte Grenze, um zwischen Lüge und wahrer Aussage unterscheiden zu können, muss noch festgelegt werden.

Dazu hat sich der Hersteller des Lügendetektors die folgende Testreihe überlegt:

Von der empirischen Erhebung zur Normalverteilung

	100 Testpersonen sollten auf eine peinliche Frage die wahre Antwort geben. Die auf ganze Zahlen gerundeten Werte des Detektors werden in dem Histogramm wiedergegeben.
	Dann sollten die Testpersonen auf eine ähnlich peinliche Frage mit einer Lüge antworten. Das Ergebnis zeigt das blaue Histogramm.
	Beide Verteilungen sind annähernd Normalverteilungen, können also durch eine "Glockenkurve" angenähert werden. Bei den wahren Antworten liegt der Mittelwert bei 2, bei den Lügen beträgt er 6.
	Jetzt muss noch eine Grenze festgelegt werden...

Entscheidungsregel

Der Hersteller könnte sich zum Beispiel für die folgende Regel entscheiden:

	Anzeige des Detektors	Ergebnis
	kleiner als 4:	Der Angeklagte sagt die Wahrheit.
	größer oder gleich 4:	Der Angeklagte lügt.

Wenn der Detektor lügt

Nebenpfad:
Crash-Kurs zu Verteilungen

	Es ist möglich, dass der Lügendetektor die Aussage einer Person, die die Wahrheit sagt, als Lüge deutet, weil der Test einen Wert über 4 ergibt. Dies ist ein α-Fehler.
	Es gibt aber auch Lügner, die einen Wert unter 4 hervorrufen (z.B. weil sie lügen, ohne rot zu werden). Dies nennt man einen β-Fehler.
	Von den 100 Testpersonen werden im Beispiel sechs als Lügner angesehen, obwohl sie die Wahrheit gesagt haben.
	Die Wahrscheinlichkeit eines α-Fehlers verringert sich, wenn man für die Grenze statt 4 einen größeren Wert nimmt. Dies hat allerdings eine Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit eines β-Fehlers zur Folge.

Arten für Fehler

Durch den Einsatz eines Lügendetektors können zwei verschiedene Fehler auftreten:

	Der Angeklagte sagt die Wahrheit	Der Angeklagte lügt
Lügendetektor stellt wahre Aussage fest	richtige Entscheidung	$\beta$ -Fehler
Lügendetektor stellt Lüge fest	$\alpha$ -Fehler	richtige Entscheidung

Entscheide selbst!

Wo würdest du als Hersteller des Lügendetektors die Grenze setzen?

Es geht nicht ohne Kompromisse

Eine Verringerung der Wahrscheinlichkeit eines α-Fehlers hat eine Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit eines β-Fehlers zur Folge und umgekehrt.