Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Auf diesem Nebenpfad wird beschrieben, wie der Wert des α-Fehlers bestimmt wurde.

Definition der Verteilungsdichte

Die Verteilungsdichte f(x) ist als eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften definiert:

$f(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$
$\int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$
$P(a \leq X \leq b)=\int \limits_a^b f(x)dx$

Insbesondere gibt nach (3) der Flächeninhalt unter dem Graphen der Verteilungsdichte in dem Bereich eines Ereignisses genau die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis an.

Bei diskreten Verteilungen ist die Summe der zu dem Ereignis gehörenden Wahrscheinlichkeiten zu bilden, bei stetigen Verteilungen bestimmt man das Integral der Verteilungsdichte in dem entsprechenden Bereich.

In dem folgenden Beispiel werden die häufig benötigten Flächeninhalte der wichtigsten stetigen Verteilung angegeben. Dabei handelt es sich um die Standardnormalverteilung mit der Dichte

$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Die Verteilungsfunktion lautet:

$\Phi(x) = \int \limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}t^2} dt$

Wichtige Bereiche der Standardnormalverteilung

Applet zur Bestimmung der Werte des Gauss-Integrals und der Umkehrfunktion

	Der linksseitige Bereich
	Der rechtsseitige Bereich unter Verwendung von $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
	Der mittlere Bereich

Zurück zum α-Fehler

Der α-Fehler liegt beim Lügendetektor dann vor, wenn der Detektor bei einer wahren Aussage einen Wert über der gesetzten Grenze von 4 anzeigt. Somit ist zur Berechnung dieses Fehlers das Integral über die Verteilungsdichte der wahren Aussagen ab dem Wert 4 zu bilden. Dabei handelt es sich um eine Normalverteilung mit Mittelwert 2 und Standardabweichung 1,29. Damit folgt:

$\displaystyle \alpha=\int_{4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot 1,29} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-2}{1,29})^2}dx \approx 0,0605 = 6,05\mbox{%}$

Übrigens

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses aus dem gesamten Wertebereich einer Zufallsvariablen beträgt 100%. Schließlich hat man z.B. beim Würfeln immer einen Wert zwischen 1 und 6. Damit ergibt sich die folgende Bedingung der obigen Definition:

Kriterium einer Verteilung

Der Flächeninhalt unter jeder Verteilungsdichte f(x) hat den Wert 1 (das entspricht 100%).

Das heißt:

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$