Das Königsberger Brückenproblem | MathePrisma

Das Königsberger Brückenproblem

Andere Städte

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Einschränkung der Aufgabenstellung

Wir betrachten zunächst einmal nur die Konstruktion von gesuchten Rundwegen, also Wege, die jede Brücke genau einmal benutzen und außerdem im Startgebiet enden.
Wenn Start- und Endgebiet identisch sind, kommt auch dieses Gebiet insgesamt mit einer geraden Anzahl im gesuchten Weg vor. In diesem speziellen Fall lautet die Eulerbedingung also:

Eulerbedingung

Eulerbedingung für Rundwege:

Für alle Gebiete G ist n(G) gerade.

(Um den allgemeinen Fall kümmern wir uns auf der letzten Seite.)

Wir nehmen an, Eulerbedingung und Zusammenhangsbedingung sind beide erfüllt. Beide sind ja notwendige Bedingungen für die Existenz eines gesuchten Weges.

Stadtplan 3

Machen Sie sich für nachfolgenden Stadtplan zuerst klar, dass Eulerbedingung und Zusammenhangsbedingung beide erfüllt sind. Versuchen Sie dann, einen gesuchten Weg einzuzeichnen. Dies braucht nicht auf Anhieb zu funktionieren. Machen Sie mehrere Versuche, auch Fehlversuche!

Stadtplan 3

Vermutlich sind auch Sie so vorgegangen

Einfaches Konstruktionsprinzip:

Der aktuelle Weg wird solange fortgesetzt, bis alle Brücken des zuletzt erreichten Gebietes bereits begangen wurden.
Falls der entstandene Weg nicht ein gesuchter ist, wird ein neuer Versuch gestartet.