(mathematische Aufbereitung)
Betrachtet werden die beiden Stadtpläne
a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.
b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.
(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)
a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?
c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?
(indirekter Beweis)
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.
Sind , , ..., endlich viele Primzahlen und ist , so ist entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von , , ..., verschiedene Primzahl teilbar.
Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".
(notwendige und hinreichende Bedingung)
Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:
A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl
Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage
A5: p ist eine Primzahl
Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen. |