Das Königsberger Brückenproblem

Andere Städte

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Versuche mit diesem einfachen Konstruktionsprinzip führen auf folgende Beobachtung:

1. Beobachtung

Man erhält entweder einen gesuchten Weg oder aber einen unvollständigen Rundweg.

Demonstration dieser Beobachtung anhand von Beispielen bei Stadtplan 3.

Zurück zu Stadtplan 3

	der Weg DAABBD ist unvollständiger Rundweg
	der Weg CAACCAABBC ist unvollständiger Rundweg
	der Weg DAACCAACCBBAABBD ist vollständiger Rundweg also ein gesuchter Weg

Diese Beobachtung wollen wir jetzt beweisen.

Indirekter Beweis!

Verwendung der Eulerbedingung

Behauptung: Jeder nicht mehr fortsetzbare Weg ist ein Rundweg.

indirekter Beweis hierzu

Als nächstes wollen wir die gerade bewiesene Behauptung dafür verwenden, das einfache Konstruktionsprinzip so abzuändern, dass wir immer mit einem gesuchten Weg enden.

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