Das Königsberger Brückenproblem | MathePrisma

Das Königsberger Brückenproblem

Andere Städte

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Als verbessertes Konstruktionsprinzip erhalten wir somit:

Die roten Kommentare hatten wir zuvor begründet

Wähle ein Startgebiet
solange noch nicht alle Brücken begangen wurden
1. falls vom aktuellen Gebiet G aus eine Brücke noch nicht begangen wurde
  1. gehe über eine solche Brücke
2. sonst (dann ist der bisherige Weg ein Rundweg)
  1. Wähle ein bereits besuchtes Gebiet X, welches eine noch nicht besuchte Brücke besitzt
    (ein solches Gebiet existiert immer)
  2. starte den Rundweg bei X statt bei G, dieser neue Weg endet also auch in X
  3. gehe von X aus über eine noch nicht besuchte Brücke

konstruktiver Beweis

Die Konstruktion endet, wenn keine unbegangene Brücke mehr vorhanden ist. Der dabei aufgebaute Weg ist deshalb ein gesuchter Weg.

Wenden Sie das verbesserte Konstruktionsprinzip an.
Entsteht ein unvollständiger Rundweg, so können Sie durch Anklicken ein Gebiet mit noch nicht begangener Brücke auswählen. Der Rundweg wird dann an dieser Stelle "aufgebrochen".
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