Das Königsberger Brückenproblem

Euler

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Unter Eulers geometrischen Arbeiten gibt es eine 1735 verfasste und 1741 in den Commentarii der Petersburger Akademie der Wissenschaften publizierte Abhandlung über ein der "Analysis Situs angehörendes Problem" (wie Euler in Anschluss an eine Bemerkung Leibnizens formulierte), das Königsberger Brückenproblem.

Referenz:
Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis,
Commentarii academiae scientiarum Petropoli- tanae, 8, (1736) 1741, 128--140, (Opera Omnia, series 1, vol 7, 1--10)

Originalzeichnung von Euler - mehr davon ?

Euler verallgemeinerte das Königsberger Brückenproblem so wie wir hier auch auf beliebige Stadtpläne. In der Terminologie der Graphentheorie spricht man heute vom Problem der "unikursalen Durchlaufbarkeit eines beliebigen vorgegebenen endlichen Graphen". Euler gab die hier vorgestellte komplette Analyse und Lösung des Problems an.