Das Königsberger Brückenproblem

Mathematisch

Einleitung

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Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Für die mathematische Aufbereitung benötigen wir eine symbolische Beschreibung. Das Ziel ist, die Aufgabe damit einfach und präzise beschreiben zu können.

Eine schematische Darstellung ist übersichtlicher.

In unserer Aufgabe sind die wichtigsten Objekte die Brücken und die Gebiete.

Übliche Bezeichnungen: Nummern, Buchstaben

Eine Idee ist, zuerst Bezeichnungen für die Brücken einzuführen. Diese Bezeichnung lässt aber nicht erkennen, wie diese Brücken in einem möglichen Weg aufeinanderfolgen können.
Da es für die Aufgabe wichtig ist, welche Brücke in Richtung welchen Gebietes begangen wird, starten wir mit der Bezeichnung für die Gebiete:

Jede Brücke hat jetzt zwei Bezeichnungen.

(AB = BA usw.)

	Wir bezeichnen die Gebiete mit den Buchstaben A, B, C, D. Damit haben wir auch Bezeichnungen für die Brücken:
	Eine Brücke wird bezeichnet durch die beiden Buchstaben der Gebiete, die sie verbindet. Z.B.: AB oder CD. Es gibt keine Brücke BC.
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