Das Königsberger Brückenproblem

Lösung

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Wiederholung:
Aufgabenstellung

Existiert in Königsberg ein Weg, der alle Brücken genau einmal benutzt?

Dazu beantworten wir zunächst die folgenden zwei Fragen:

1. Frage:

Wann ist eine Folge der Buchstaben A, B, C, D ein Weg?

Anfangs- und Endgebiet sind Ausnahmen

Antwort:

Die Buchstabenfolge ist eine Aneinanderreihung von Brücken.
Eine Brücke endet in dem Gebiet, in welchem die nächste startet.
Der Buchstabe dieses Gebietes kommt also doppelt vor.

Beobachtung

1. Folgerung:

Bis auf höchstens zwei kommen in einem Weg alle Buchstaben A, B, C, D in gerader Anzahl vor.