Krümmung von Trassen | MathePrisma

Krümmung von Trassen

Von der Anschauung zur mathematischen Definition

Einleitung

Der Krümmungsbegriff

Anwendung

Geschwindigkeit

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Unsere Idee zur Berechnung des Schmiegkreises rührt daher, dass wir einen Zusammenhang zwischen dem alten Problem der Tangentenberechnung und dem neuen Problem der Schmiegkreisberechnung gesehen haben. Dies zeigt die folgende tabellarische Gegenüberstellung.

Fülle die leeren Felder der Tabelle aus.

	altes Problem	Lösung	neues Problem	Lösung
	Steigung einer Geraden y = mx + b	konstante Steigung m in jedem Punkt der Geraden	Steigung in einem bestimmten Punkt (x0\|f(x0)) der Kurve	Die Steigung der Kurve entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0\|f(x0)).
	Krümmung eines Kreises mit dem Radius r	konstante Krümmung $k=\frac{1}{r}$ in jedem Punkt des Kreises

Aufgabe 2

Gegeben sind einige Funktionen und ausgewählte Punkte auf ihrem Graphen. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel $k=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ die Krümmung dieser Funktionen in den gegebenen Punkten.

a) $f_{1}(x)=3x^{2}$ $P(2|12)$

b) $f_{2}(x)=x^{3}$ $P_{1}(1|1)$ $P_{2}(2|8)$

c) $f_{3}(x)=sin(x)$ $P(\frac{pi}{2}|1)$

Aufgabe 3

Jetzt soll für die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$ und den Punkt $P(1|1)$ das Verfahren aus der Diashow von Seite 5 rechnerisch durchgeführt werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:

Stelle zuerst die Gleichungen der Normalen in P(1|1) und $Q(x_{n}|x_{n}^{3})$ auf. Für die Normale in Q muss sich die Gleichung $y=-\frac{1}{3x_{n}^{2}}\cdot x+x_{n}^{3}+\frac{1}{3x_{n}}$ ergeben.
Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes $(x_{s}|y_{s})$ beider Normalen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des "Durchschnittskreises" für die Punkte P und Q. Man erhält $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{1-x_{n} ^{2}}$ .
In einem weiteren Schritt muss sich jetzt der Punkt Q dem Punkt P annähern, d.h. es muss sich $x_{n}$ dem Wert 1 nähern. Der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 ist aber bei dem angegebenen Bruch nicht möglich, weil der Nenner sich der Zahl Null nähern würde. Als muss der Nenner so umgeformt werden, dass der Grenzübergang anschließend möglich ist. Nach der 3. binomischen Formel kann man $x_{s}$ als $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{(1-x_{n})\cdot (1+x_{n})}$ . schreiben. Führe anschließend eine Polynomdivision des Zählers durch $1-x_{n}=-x_{n}+1$ durch.
Danach bleibt ein Term der Form $x_{s}=\frac{...}{(1+x_{n})}$ übrig. Für diesen Term ist der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 möglich, weil sich der Nenner nicht mehr dem Wert Null nähert. Wenn du richtig gerechnet hast, muss sich für den Grenzwert und damit die x-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises der Wert - 4 ergeben.
Berechne zum Schluss auch die y-Koordinate des Mittelpunktes und den Krümmungsradius r als Abstand zwischen diesem Punkt sowie P(1|1). Der Radius r muss mit demjenigen Wert übereinstimmen, der sich auch aus unserer Formel $r = \frac{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}{f''(x)}$ ergeben hat.

Aufgabe 4

Es gibt auch Übergangsstücke der Form $f(x)=a\cdot x^{3}$ für einen Kurvenradius von 150 m. Berechne mit Hilfe des Newtonverfahrens auch für diesen Radius den Koeffizienten a und prüfe, inwieweit dieser Wert mit dem alten Ergebnis von $a=\frac{1}{42950}$ übereinstimmt.

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Krümmung in verschiedenen Kurvenpunkten

Das Beispiel der Parabel auf der vorherigen Seite hat gezeigt, dass bei vielen Kurven die Krümmung davon abhängt, in welchem Punkt der Parabel man sich befindet.

Bei der Parabel ist die Krümmung im Ursprung am stärksten.
Je weiter man sich hiervon entfernt, desto geringer wird die Krümmung.
Sie ist auf beiden Seiten der Parabel gleich groß.

Idee

Wir kennen die Krümmung von Kreisen, aber nicht die Krümmung von Parabeln in verschiedenen Punkten.

Deshalb suchen wir einen solchen Kreis, der sich in einem Punkt der Kurve besonders gut an die Parabel "anschmiegt". Die Krümmung dieses Schmiegkreises soll dann die Krümmung der Parabel in diesem Punkt sein.

Finde passende Schmiegkreise.

Radien der Kreise:

blau: 1,41 (oder $\sqrt{2}$ )
rot: 0,75
dunkelgrau: 2,93
grün: 0,5
orange: 1,875

Erweiterung unserer Definition

Liegen ein Funktionsgraph und ein Punkt auf dem Graphen vor, so suchen wir denjenigen Schmiegkreis, der sich in diesem Punkt besonders gut an den Verlauf des Funktionsgraphen anschmiegt. Dessen Krümmung ist dann die Krümmung der Funktion in diesem Punkt.

Bestimme die Parabelkrümmung