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Krümmung von Trassen

Krümmung von Trassen

Von der Anschauung zur mathematischen Definition

Rechnerische Bestimmung der Krümmung k

Die Formel zur Berechnung der Krümmung

Wir beschränken uns in diesem Modul darauf, dir die Formel für die Krümmung im Punkt P(x|f(x)) einer Funktion f vorzustellen und zu erläutern.

Formel

\(\displaystyle k = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}\)

Wenn du wissen willst, wie man zu dieser Formel gelangt, findest du hier eine Herleitung.

Auf dieser Seite wollen wir dir nur für einige Spezialfälle zeigen, warum diese Formel "plausibel" ist.

Krümmung von Geraden

Geraden lassen sich durch lineare Funktionen mit der Gleichung \(f(x)= mx+b\) beschreiben. Für diese Funktionen ist \(f'(x)= m\) und \(f''(x)= 0\). Weil also der Zähler der Formel für k Null ist und der Nenner ungleich Null, ist bei Geraden \(k = 0\). Das hatten wir schon herausgefunden.

Hier siehst du das Beispiel \(f(x)=0,6x+0,5\)

   

Krümmung von Kreisen

Die Funktionsgleichung des unteren Halbkreises
mit dem Mittelpunkt M(0|0) und dem Radius r lautet \(f(x) = -\sqrt{r^{2}-x^{2}}\).
Die erste Ableitung hiervon ist \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\),
die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = \frac{r^{2}}{(r^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}\).

Setzt man dies in die Formel für k ein, so ergibt sich

\(\begin{array}{ll} k &=& \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{r^{2}}{(r^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}}{(1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{r^{2}}{(r^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}}{(\frac{r^{2}-x^{2}+x^{2}}{r^{2}-x^{2}})^{\frac{3}{2}}}\\ &=& \frac{r^{2}}{(r^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}\cdot\frac{(r^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}{r^{3}}=\frac{1}{r} \end{array}\)

Auch für Kreise ergibt sich dieselbe Formel, die wir bereits zuvor erwähnt hatten.

     Hier siehst du das Beispiel für r = 2:

Krümmung in Wendepunkten

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass in den Wendepunkten W1 und W2 die Krümmung Null ist.

Weil in Wendepunkten \(f''(x) = 0\) ist, ist auch der Zähler unserer Krümmungsformel dort Null. In Wendepunkten haben Kurven also keine Krümmung.

   

Krümmung einer Parabel

Wir haben gesehen, dass die Krümmung der Normalparabel im Ursprung am größten ist.

Weil sich diese Parabel durch die Gleichung \(f(x) = x^{2}\) beschreiben lässt, ist hier \(f'(x) = 2x\) und \(f''(x) = 2\). Damit erhält man für die Krümmung \(k = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{(1+4x^{2})^{\frac{3}{2}}}\)

Der Zähler ist konstant. Der Nenner ist für x = 0 am kleinsten und wird um so größer, je größer |x| wird. Weil bei kleinem Nenner der Bruch selbst groß ist, erhält man den größten Bruch für x = 0. Die Krümmung im Ursprung ist also mit

\(k = \frac{2}{(1+4\cdot0)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{1}=2\)

am größten. Auch dieses Ergebnis kennen wir bereits aus unserem Modul.

    Graph einer Normalparabel:

Die Krümmung einer Parabel

Dieses Applet zeigt dir jetzt für alle Punkte auf der Parabel sowohl den Schmiegekreis als auch die Krümmung an.