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Problemstellung

Seien $n$ verschiedene Werte $x_1, x_2, ..., x_n$ auf der x-Achse und zugehörige y-Werte $y_1, y_2, ..., y_n$ gegeben. Wir suchen ein Polynom von höchstens $(n-1)$ -tem Grad, dessen Graph durch die Punkte $(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)$ geht.

Falls es existiert, nennen wir es Interpolationspolynom.

Eindeutigkeit

Der Grund für die Gradeinschränkung ist, daß dieses Polynom dann eindeutig bestimmt ist. Das ist leicht einzusehen: Seien $p$ und $q$ Polynome vom Grad $\le n-1$ mit

$\begin{equation*} p(x_i) = y_i ,\, q(x_i) = y_i ,\quad i = 1, ..., n . \end{equation*}$

Dann ist $p-q$ ein Polynom vom Grad $\le n-1$ mit den Nullstellen $x_1, ..., x_n$ . Nach dem Hauptsatz der Algebra kann es sich nur um das Nullpolynom handeln, denn jedes andere Polynom vom Grad $d\le n-1$ hat höchstens $d$ verschiedene Nullstellen.