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Existenz

Aber existiert stets ein Interpolationspolynom? Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein solches zu konstruieren. Für uns ist die Methode von Lagrange am geeignetsten:

Zunächst betrachten wir das Polynom $p_1(x)=(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_n)$ . Es hat an den Stellen $x_2, ..., x_n$ Nullstellen, aber nicht an der Stelle $x_1$ . Wenn wir es durch $p_1(x_1)$ teilen und mit $y_1$ multiplizieren, erhalten wir ein Polynom, das an der Stelle $x_1$ den Wert $y_1$ hat und an allen anderen Stellen den Wert $0$ . Analog definieren wir

$\begin{equation*} p_i(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_n) . \end{equation*}$

Dann hat

$\begin{equation*} \frac{y_i}{p_i(x_i)}p_i(x) \end{equation*}$

an der Stelle $x_i$ den Wert $y_i$ und an den anderen Stellen den Wert $0$ .
Das Polynom

$\begin{equation*} p(x) = \frac{y_1}{p_1(x_1)}p_1(x) + \cdots + \frac{y_n}{p_n(x_n)}p_n(x) \end{equation*}$

erfüllt alle Bedingungen.