Monotonie-Kriterium
Die Funktion sei auf dem Intervall
differenzierbar. Sie ist genau
dann auf
monoton wachsend, wenn
auf
gilt.
Die Funktion ist genau dann auf
monoton fallend, wenn
auf
gilt.
Beweis
Nur für den Fall des monotonen Wachstums.
Sei monoton wachsend und
. Falls
nicht der rechte
Endpunkt von
ist, so wähle man
so klein, daß
ist.
Für die Steigung der Sekante durch die Punkte und
gilt dann stets
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Läßt man gegen
konvergieren, so konvergiert die linke Seite gegen
. Die Ungleichung bleibt auch für den Grenzwert erhalten, also
ist
.
Falls der rechte Endpunkt von
ist, so wähle man
negativ und lasse es gegen
konvergieren.
In dieser Demonstration sind der rote und grüne Punkt beweglich. Die Sekante (grün) hat immer nicht-negative Steigung, da die Funktion monoton wächst. Bewegt man den grünen Punkt auf den roten Punkt zu, so nähert sich die Sekante der Tangente an. Diese hat also auch nicht-negative Steigung.
Jetzt sei auf
. Um das monotone Wachstum von
nachzuweisen,
wählen wir
mit
. Wir wollen zeigen, daß
die Steigung der Sekante durch die Punkte
und
nicht-negativ ist, aber wir wissen nur, daß die Tangenten an den Graph
von
nicht-negative Steigung haben. Eine Verbindung stellt der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung her.
Er besagt, daß es eine
Stelle gibt, sodaß die Tangente in
und die
Sekante die gleiche Steigung haben, d.h.
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Da der Nenner positiv ist, muß der Zähler sein, d.h.
.
In dieser Demonstration sind die beiden grünen Punkte beweglich. Unabhängig von ihrer Lage wird der rote Punkt auf dem Graphen stets so berechnet, daß die zugehörige Tangente (rot) parallel zur Sekante (grün) ist. Da die Tangente immer nicht-negative Steigung hat, gilt das Gleiche für die Sekante.