Kurven | MathePrisma

Die zweite Ableitung enthält Information über Konvexität, Konkavität und Krümmung des Graphen einer Funktion.

Definition

Eine Funktion $f(x)$ heißt auf dem Intervall $I$ konvex, wenn die Verbindungsstrecke zweier Punkte auf ihrem Graphen stets oberhalb des Graphen liegt. Sie heißt konkav, wenn die Verbindungsstrecke stets unterhalb des Graphen liegt.

Anschaulich besagt Konvexität, daß sich der Graph nach oben biegt:

Betrachten Sie die Funktion $f(x)=x^3-x$ . Auf dem Intervall $(0,\infty)$ ist sie konvex. Das kann man graphisch prüfen, indem man die Endpunkte der Sehne an beliebige Stellen rechts von der y-Achse plaziert. Stets liegt die Sehne über dem Funktionsgraph. Dagegen ist die Funktion auf dem Intervall $(-\infty,0)$ konkav.

Statt mit Sehnen kann man auch mit Tangenten arbeiten. Das hat den Vorteil, daß sich Konvexität mit der Ableitung in Verbindung bringen läßt.

Beobachten Sie das Verhalten der Tangente, wenn der Berührpunkt verschoben wird. Bewegt man ihn vom Ursprung aus nach rechts, so dreht sich die Tangente im Gegenuhrzeigersinn. Bewegt man ihn dagegen von rechts auf den Urspung zu, so dreht sich die Tangente im Uhrzeigersinn.

Der beobachtete Zusammenhang zwischen Konvexität und Drehrichtung der Tangente gilt allgemein und läßt sich mit Hilfe der Ableitung ausdrücken. Die Tangente dreht sich genau dann im Gegenuhrzeigersinn, wenn ihre Steigung zunimmt, d.h. wenn die Ableitung der Funktion monoton wächst.

Konvexitäts-Kriterium

Die differenzierbare Funktion $f(x)$ ist auf dem Intervall $I$ genau dann konvex, wenn ihre Ableitung auf diesem Intervall monoton wächst. Sie ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung monoton fällt.

Ein Beweis für dieses Kriterium verwendet wiederum den Mittelwertsatz.

Hier wird die Ableitung $f'(x)=3x^2-1$ graphisch dargestellt. Bewegen Sie die Tangente hin und her und beobachten Sie den Zusammenhang zwischen Konvexität, Drehung im Gegenuhrzeigersinn und monotonem Wachstum der Ableitung.