Lindenmayersysteme
"Iterationen in Ersetzungssystemen oder: wie Kröten Pflanzen zeichnen "
Autor(en): Ulrich Fleischer, Andreas Frommer, Dorothee Müller, Ingo Steinhoff - Januar 2009
Kapitelübersicht
Wir motivieren das Ersetzungsprinzip anhand einfacher Pflanzenformen.
Wir führen Lindenmayersysteme und die interpretierende Krötengrafik ein
Eine mathematisch anspruchsvollere, dafür aber auch sehr faszinierende Anwendung für L-Systeme. Das Kapitel kann bei Bedarf problemlos übersprungen werden.
Wir führen Krötengrafilken mit Gedächtnis ein und erhalten so L-Systeme für besonders schöne Pflanzenformen.
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
a) Hier ist ein L-System:
- Z = {a,b,l,x}
- s = x
- Produktionsregeln:
Gib die ersten drei Iterationen dieses L-Systems an.
b) Die Produktionsregeln werden jetzt abgeändert zu
Gib wieder die ersten drei Iterationen an.
Aufgabe 2
a) Gib ein L-System an, dessen Iterationen der Reihe nach die Zeichenfolgen
- 01
- 0011
- 00001111
- 0000000011111111
- ...
ergeben. Iteration Nummer i ergibt also die Folge aus 2
i Nullen, gefolgt von 2
i Einsen.
b) Gib außerdem ein L-System an, dessen Iterationen der Reihe nach die Zeichenfolgen
- 0x1
- 00x11
- 000x111
- 0000x1111
- ...
ergeben. Iteration Nummer i ergibt also die Folge aus i Nullen, dann ein x, gefolgt von i Einsen.
Aufgabe 3
Experimentiere und finde ein weiteres L-System, das eine neue "schöne Pflanze" produziert. Verwende dazu das Applet auf der Seite "Pflanzen 2".
Aufgabe 4
Bei der Kochschen Kurve hatten wir vorausgesetzt, dass die Kröte beim Start nach Osten statt nach Norden schaut.
Aber auch wenn die Kröte beim Start nach Norden schaut, kann man die Kochsche Kurve mit derselben Ausrichtung mit einem L-System erzeugen. Gib ein solches L-System an, also
- den Winkel α
- die Startfolge s
- die Produktionsregel(n)
Aufgabe 5
Eine Kurve heißt geschlossen, wenn Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Beispiele sind der Kreis und die Epizykloide, s. Seite "Raumfüllende Kurven 1" oder auch die Glasmeyerkurve von Seite "Raumfüllende Kurven 3".
Finde eine geschlossene Variante der Hilbertkurve. Dazu musst Du nur eine andere Startfolge finden. Du kannst mit dem entsprechenden Applet von Seite "Raumfüllende Kurven 3" arbeiten.
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Inhalt
Lindenmayersysteme werden einerseits als Systeme zur systematischen Generierung von ästhetisch ansprechenden Bildern vorgestellt. Andererseits wird auch die formale Beschreibung als Ersetzungssystem zusammen mit der Turtle-Grafik ausführlich behandelt. Als eine Anwendung werden raumfüllende Kurven besprochen.
Inhalt:
Lindenmayersysteme für pflanzliche Formen: geometrischer Zugang
Turtle-Grafik
Lindenmayersysteme als Ersetzungssysteme
Raumfüllende Kurven
Glossar
Start: eine Linie
nach einem Schritt: Verzweigung aus 5 Linien
nach Schritt 2: jede der 5 Linien wurde ihrerseits ersetzt
nach Schritt 3: wieder wurde jede Linie ersetzt
usw.