Zahl Pi XXL

Archimedes-Methode

Einleitung

Rechtecke

Vielecke

Archimedes

Regen

Buffon

Gregory

Machin

Sonstiges

Über

Literatur

Wurzeln statt Trigonometrie

Die erste wirklich praktikable geometrische Methode zur Berechnung vieler Stellen von $\pi$ stammt von Archimedes. Bei ihr müssen keine trigonometrischen Funktionen berechnet werden, sondern nur Quadratwurzeln (siehe [14]).

Methode

Die Idee besteht darin, mit ein- und umbeschriebenen Dreiecken zu beginnen und schrittweise die Eckenzahl zu verdoppeln. Dabei wird der Umfang der neuen Vielecke aus dem Umfang der schon vorhandenen berechnet. Während Archimedes ganz konkret mit Zahlen rechnete, fand man später allgemeine Rekursionsformeln.

Herleitung

Hier ist eine statische Version der Herleitung.

Skizze

Seien $a_n$ bzw. $b_n$ die halbe Seitenlänge des um- bzw. einbeschriebenen Vielecks im $n$ -ten Schritt ( $n=0$ entspricht den Ausgangs-Dreiecken). Sei ferner $c_n$ der Abstand des Kreismittelpunktes von den Seiten des einbeschriebenen Vielecks.

step1

Das Viereck $CHEG$ hat bei $C$ , $H$ und $G$ einen rechten Winkel, ist also ein Rechteck. Also sind die Seiten $EG$ und $HC$ gleichlang. Daher ist

step2

$\begin{equation} \label{200} \overline{AC} = 2c_{n+1} . \end{equation}$

(6)

step3

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann auf zwei Arten ausgerechnet werden:

$\begin{equation} \label{4000} \frac{1}{2} \overline{AB}\cdot\overline{FC} = \frac{1}{2} \overline{BC} \cdot \overline{AC} \end{equation}$

(7)

Da der Kreis Radius $1$ hat, ist $\overline{AB}=2$ . Mit (6) und (7) ergibt das

step4

$\begin{equation} \label{300} b_n = 2b_{n+1}c_{n+1} . \end{equation}$

(8)

step5

Nach dem Strahlensatz ist $\overline{BD}:\overline{BE} = \overline{FC}:\overline{FE}$ . Das ergibt

step6

$\begin{equation} \label{400} a_n = \frac{b_n}{c_n} . \end{equation}$

(9)

step7

Die Dreiecke $ABC$ und $ACF$ sind rechtwinklig bei $C$ und $F$ und haben bei $A$ einen gemeinsamen Winkel. Also sind sie ähnlich. Damit ist $\overline{AC}:\overline{AB} = \overline{AF}:\overline{AC}$ . Das ergibt

$\begin{equation} c_{n+1} = \frac{1+c_n}{2c_{n+1}} \nonumber \end{equation}$

und damit

step8

$\begin{equation} \label{500} 2c_{n+1}^2 = 1+c_n . \end{equation}$

(10)

step9

Damit haben wir drei Gleichungen, die wir jetzt weiterverarbeiten.

step10

Insbesondere gilt (9) auch für $n+1$ statt $n$ , also

step11

$\begin{equation} \label{600} a_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{c_{n+1}} . \end{equation}$

(11)

step12

Multipliziert man die linken und rechten Seiten von (8) und (11) miteinander, so ergibt sich

step13

$\begin{equation} \label{700} a_{n+1} b_n = 2b_{n+1}^2 . \end{equation}$

(12)

step14

Ferner folgt aus (11), (10) und (8)

$\begin{equation} a_{n+1} = \frac{b_{n+1}c_{n+1}}{c_{n+1}^2} = \frac{b_n/2}{(1+c_n)/2} =\frac{b_n}{1+c_n} . \nonumber \end{equation}$

Mit (9) ergibt sich daraus

step15

$\begin{equation} \label{800} a_{n+1} = \frac{b_n}{1+b_n/a_n} = \frac{a_nb_n}{a_n+b_n} . \end{equation}$

(13)

step16

Die beiden Vielecke im $n$ -ten Schritt haben $3\cdot 2^n$ Seiten der Länge $2a_n$ bzw. $2b_n$ . Ist $A_n$ bzw. $B_n$ der Umfang des um- bzw. einbeschriebenen Vielecks, so gilt also

$\begin{equation} A_n = 3\cdot 2^{n+1} a_n ,\quad B_n = 3\cdot 2^{n+1} b_n . \nonumber \end{equation}$

step17

Da diese Formeln auch für $n+1$ gelten, folgt aus (12)

step181

$\begin{equation} \label{900} B_{n+1}^2 = 9 \cdot 2^{2(n+2)} b_{n+1}^2 = 9\cdot 2^{2n+3}a_{n+1}b_n = A_{n+1} B_n . \end{equation}$

(14)

step182

Ebenso folgt aus (13)

step191

$\begin{equation} \label{1000} A_{n+1} = 3\cdot 2^{n+2}a_{n+1} = 3\cdot 2^{n+2} \frac{a_n b_n}{a_n+b_n} = \frac{2A_n B_n}{A_n+B_n} . \end{equation}$

(15)

step192

Mit (14) und (15) können $A_{n+1}$ und $B_{n+1}$ aus $A_n$ und $B_n$ mittels Addition, Multiplikation, Division und Wurzelziehen berechnet werden. Die Startwerte sind $A_0=6\sqrt{3}$ und $B_0=3\sqrt{3}$ .

step20

Da der Kreis Umfang $2\pi$ hat, gilt

$\begin{equation*} \frac{1}{2}B_n < \pi < \frac{1}{2}A_n . \end{equation*}$

step21